5.1复数的概念及其几何意义（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（北师大版2019必修第二册）

5.1复数的概念及其几何意义 目 录 速 览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：复数的基本概念 必会题型二：复数几何意义 必会题型三：复数的概念及其几何意义综合 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一 复数的引入 在实数范围内，方程无解．为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引人一个新数，使得是方程的解，即使得．把新引进的数添加到实数集中，得到一个新数集．把实数与相乘，结果记作；把实数与相加，结果记作．注意到所有实数以及都可以写成的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中． 必会知识二 复数的概念、代数形式及分类 1．复数的概念 我们把形如的数叫作复数，其中叫作虚数单位．全体复数所构成的集合叫作复数集．复数通常用字母表示，即．以后不作特殊说明时，复数都有，其中的与分别叫作复数的实部与虚部． 对于复数，当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当时，它叫作虚数；当且时，它叫作纯虚数． 对于复数，既要把复数看成一个整体，从整体的角度去认识它，又要从实部、虚部的角度将其分解成两部分去认识它． 2．复数的分类 复数可以分为两大类一一实数和虚数． 复数的分类如下： 复数 3．数集间的关系 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用下图表示．用集合间的关系表示各数集间的关系为． 必会知识三 复数相等 在复数集中任取两个数)，我们规定：与相等当且仅当且，即它们的实部与虚部分别对应相等． 【名师点睛】(1)复数． (2)如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小，只能说相等或不相等． (3)复数相等的充分必要条件为我们提供了将复数问题转化为实数问题的途径． 【拓展解惑】引入虚数单位后，规定，但与0的大小关系不能确定．理由如下： 若，则，两边同乘，得，即，与实数系中数的大小规定相矛盾；若，则由，得，所以，所以，与实数系中数的大小规定相矛盾．故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分．若两个复数用“>”或“<”连接，则这两个复数必为实数． 必会知识四 复平面的概念和复数的几何意义 1．复平面的概念 因为任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数与有序实数对是一一对应的．而有序实数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系．如图，点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示．这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，轴叫作实轴，轴叫作虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的几何意义 按照上述表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．由此可知，复数集中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系，复数复平面内的点，这是复数的一种几何意义． 【名师点睛】(1)注意“虚轴上的点都表示纯虚数”这种说法是错误的，原点必须除外． (2)复平面内各象限内的点均表示虚数． (3)复平面内的点的坐标是，而不是． 必会知识五 复数集与复平面内的向量的一一对应关系 在复平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的． 如图，设复平面内的点表示复数，连接，显然向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定．因此，复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数0与零向量对应)，即复数平面向量，这是复数的另一种几何意义． (1)这种对应关系架起了复数与几何之间的桥梁，使复数问题可以用几何方法解决，而且几何问题也可以用复数方法解决(数形结合法)，增加了解决复数问题和几何问题的途径(如图)． (2)用点表示复数称为复数的几何形式；用向量表示复数称为复数的向量形式，其中为坐标原点． (3)为了方便起见，我们常把复数说成点或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数． 必会知识六 复数的模 如图向量的模叫作复数的模或绝对值，记作或．即，其中．如果，那么是一个实数，它的模就等于(的绝对值)． (1)复数的模表示的是复平面内对应的点到原点的距离，它是实数的绝对值概念的扩充，因此有，并且绝对值具有的某些性质可以推广到复数的模． (2)两个复数的差的模就是复平面内这两个复数所对应的两点间的距离．设复平面内任意两点所对应的复数分别为，则(复数的减法将在下节学习)．运用这个性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题． 必会知识七 共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数．复数的共轭复数用表示，即如果，那么．一个复数的共