第五章 复数 章末总结（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（北师大版2019必修第二册）

第五章 复数 章末总结 目 录 速 览 第一部分：单元知识思维导图 第二部分：重点知识方法技巧归纳总结 第三部分：必会技能常考题型及思想方法纳 第四部分：配套必刷好题 必会题型一：复数的概念及其几何意义 必会题型二：复数的四则运算 必会题型三：复数综合 第一部分：单元知识思维导图 第二部分：重点知识方法技巧归纳总结 1．数系的扩充 (1)各种数集之间的包含关系：． (2)在复数中解方程：一般利用复数的代数形式将方程转化为实数方程(组)；实系数一元二次方程可直接用求根公式求虚根，即． 2．复数的代数形式及其分类 (1)复数由两部分组成，实数与分别称为复数的实部与虚部，1与分别是实数单位和虚数单位．当时，是实数；当时，是虚数；当且时，是纯虚数． 应特别注意，仅是复数是纯虚数的必要不充分条件，若，则，是实数． (2)正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系．分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一．复数分类如下： 3．两个复数相等的充分必要条件 设，两个复数和相等规定为由这个充分必要条件，得 注意：(1)两个虚数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等． (2)两个复数相等的充分必要条件实际上给出了将复数问题转化为实数问题的方法，是求复数值和在复数集中解方程的重要依据． 4．共轭复数的性质 复数的共轭复数是i．若两个复数互为共轭复数，则它们在复平面内对应的点关于实轴对称． 一般地，共轭复数有如下性质(其中为复数的共轭复数)： (1)． (2)． (3)． (4)复数是纯虚数． (5)． (6)． (7)． 5．复数的模的几何意义 (1)复数的模的几何意义是在复平面内复数对应的点到原点的距离． (2)设复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点为表示一个大于0的常数，则 ①满足条件的点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部； ②满足条件的点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，表示圆的内部，表示圆的外部． 6．复数能否比较大小 两个复数，如果不全是实数，那么不能比较大小，只有两个复数全是实数时才能比较大小． 7．复数与复平面 复数和复平面内的点一一对应： (1)任何一个复数都可以由一个有序实数对唯一确定． (2)复数用复平面内的点)表示，点的坐标是，而不是．也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度为1，而不是i．因为-，所以用复平面内的点表示时，该点和原点的距离为1，等于虚轴上的单位长度，不能认为这点到原点的距离为虚数单位． (3)当时，对任何是纯虚数，所以复平面内虚轴上的点都表示纯虚数，但当时，是实数，所以除原点外，复平面内虚轴上的点都表示纯虚数． 8．解实系数、复系数一元二次方程的技巧 (1)实系数一元二次方程在复数集中解的情况：设一元二次方程为． ①当时，原方程有两个不相等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程有两个不相等的虚数根为一对共轭虚数根)，且这两个虚数根同样满足一元二次方程中根与系数的关系：． 综上可知，实系数一元二次方程在复数集中恒有解． (2)复系数一元二次方程的解的情况： 设一元二次方程为，且0)． 当时，求根公式为． 容易验证上述的两个根同样满足一元二次方程中根与系数的关系，即． 需要注意的是： ①对于系数不全是实数的方程，一般情况下首先考虑用因式分解法求解，然后考虑用复数相等的充分必要条件求解． ②对于系数不全是实数的一元二次方程，求根公式、根与系数的关系仍然适用． 9．复数的四则运算技巧 (1)复数的加法、减法、乘法、除法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将代人到实际运算过程中去．如． (2)复数的除法是复数乘法的逆运算，将满足的复数叫作复数除以复数的商． 由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过分母“实数化”求解，即． (3)复数的四则运算类似于多项式的四则运算，将含的看作一类，不含的看作另一类，分别合并即可．复数代数形式的四则运算，基本思路是直接利用法则运算，注意运算技巧以及常见结论的运用，可有效地简化运算，提高解题速度． 10．复数加减法的几何意义 第二部分：必会技能常考题型及思想方法纳 必会题型一：复数的概念及其几何意义 1．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）复数的虚部为（    ） A．1 B． C．2i D． 2．（2023春·河南·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2023春·安徽·高一校联考期中）已知i是虚数单位，若，则实数a=（    ） A．2 B．2 C．-2 D．±2 4．（2023·全国·高三专题练习）已知，则复数z在复平面上对应的点在(    ) A．第一象限 B．第