2023年中考数学高频考点突破——圆与相似三角形综合

2023年中考数学高频考点突破——圆与相似三角形综合 1．如图1，在中，点在边上（点与点不重合），以点为圆心，为半径作⊙交边于另一点，，交边于点． （1）求证：； （2）若，求关于的函数关系式并写出定义域； （3）延长交的延长线于点，联结，若与相似，求线段的长． 2．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为的中点，过D作DF⊥AB于点E，交⊙O于点F，交弦BC于点G，连接CD，BF． （1）求证：△BFG≌△DCG； （2）若AC＝10，BE＝8，求BF的长； （3）在（2）的条件下，P为⊙O上一点，连接BP，CP，弦CP交直径AB于点H，若△BPH与△CPB相似，求CP的长． 3．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N． （1）图中是否存在与△ODM相似的三角形，若存在，请找出并给于证明． （2）设DM＝x，OA＝R，求R关于x 的函数关系式；是否存在整数R，使得正方形ABCD内部的扇形OAM围成的圆锥底面周长为π？若存在请求出此时DM的长；不存在，请说明理由． （3）在动点O逐渐向点D运动（OA逐渐增大）的过程中，△CMN的周长如何变化？说明理由． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点P在边AC上（点P与点A不重合），以点P为圆心，PA为半径作⊙P交边AB于另一点D，ED⊥DP，交边BC于点E． （1）求证：BE=DE； （2）若BE=x，AD=y，求y关于x的函数关系式并写出定义域； （3）延长ED交CA的延长线于点F，联结BP，若△BDP与△DAF相似，求线段AD的长． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为斜边AB上一点，以O为圆心、OA为半径的圆恰好与BC相切于点D，与AB的另一个交点为E，连接DE． （1）请找出图中与△ADE相似的三角形，并说明理由； （2）若AC＝3，AE＝4，试求图中阴影部分的面积； （3）小明在解题过程中思考这样一个问题：如图中的⊙O的圆心究竟是怎么确定的呢？请你在如图中利用直尺和圆规找到符合题意的圆心O，并写出你的作图方法． 6．如图，中，，动点E，F同时分别从点A，B出发，分别沿着射线AC和射线BC的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接EF，以EF为直径作交射线BC于点M，连接EM，设运动的时间为． ______，______直接写出答案 当点E在线段AC上时，用关于t的代数式表示CE，CM． 在整个运动过程中，当t为何值时，以点E、F、M为顶点的三角形与以点A、B、C为顶点的三角形相似． 7．如图，二次函数y=x2-2mx+8m的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边且OA≠OB),交y轴于点C，且经过点（m，9m）,⊙E过A、B、C三点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求点E的坐标； （3）过抛物线上一点P（点P不与B、C重合）作PQ⊥x轴于点Q，是否存在这样的点P使△PBQ和△BOC相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由 8．已知O是坐标原点，以P(1，1)为圆心的⊙P与x轴、y轴分别相切于点M和点N．点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结PF，过点P作PE⊥PF交y轴于点E．设点F运动的时间是t秒（t>0）． （1）求点E的坐标（用t表示）； （2）在点F运动过程中，当PF=2OE时，求t的值． （3）当t>1时，作点F关于点M的对称点F′．点Q是线段MF′的中点，连结QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得△QOE与△PMF相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD． （1）AB= ； （2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数． （3）若△ACD与△BCO相似，求AC的长． 10．如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，3）为圆心、5为半径的圆与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C、D（点C在点D的上方），经过B、C两点的抛物线的顶点E在第二象限.（1）求点A、B两点的坐标. （2）当抛物线的对称轴与⊙M相切时, 求此时抛物线的解析式. （3）连结AE、AC、CE，若． ①求点E坐标； ②在直线BC上是否存在点P，使得以点B、M、P为顶点的三角形和△ACE相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 11．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-5，0）和（5，0），以AB为直径在x轴的上方作半圆O，点C是该半圆上第一象限内的一个动点，连结AC、BC，并延长BC至点D，使BC=