第19章　四边形——矩形性质与判定　考点题型总结　2022—2023学年沪科版数学八年级下册

矩形性质与判定 知识点1 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 知识点2 矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． 【例1】如图1，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE大小是（　　） A．55° B．40° C．35° D．20° 图1图2图3 【例2】如图2，矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD交于点O，DH⊥AC，垂足为点H，若∠ADH＝2∠CDH，则AD的长为 　 　． 【变式1】如图3，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AE平分∠BAD交于点E，且BO＝BE，则∠CAE＝　 　． 【变式2】如图4，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE，AF，则AC的长为　 　． 图4图5图6 【变式3】如图5，在矩形ABCD中，AB＝4，BD＝4，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交BC于点E，则CE的长是　 　． 【变式4】如图6，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若BC＝2，∠CBE＝45°，则AB＝　 　． 【练习1】如图7，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF，AF．若AB＝2，AD＝3，则∠AEF的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．不能确定 图7图8图9 【练习2】如图8，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E，若BE＝2，AE＝4，则AC＝　 　． 【练习3】如图9矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（　　） A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4 【例3】如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E在AD上，点F在BC边上，FE平分∠DFB． （1）判断△DEF的形状，并说明理由； （2）若点F是BC的中点，求AE的长． 【变式1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，交BD于点F．已知∠CAE＝15°，AB＝2． （1）求矩形ABCD的面积； （2）求证：OE＝FE． 【变式2】如图，在▱ABCD中，将对角线BD分别向两个方向延长至点E、F，且BE＝DF．连接AF、CF、CE、AE． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若AD＝4，BE＝3，∠ADB＝∠CBD＝90°，当四边形AECF是矩形时，则BD的长为　 　． 【练习1】如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC． （1）求证：OE＝OF； （2）若AC＝6，求AB的长． 【练习2】如图，矩形ABCD中，AB＝BC，在边AB上截取BE，使得BE＝BC，连接CE，作DF⊥EC于点F，连接BF并延长交AD于点G，连接DE． （1）求证：DE平分∠AEC； （2）若AD＝，求出DG的长． 知识点3 直角三角形斜边中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 【例4】（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果CD、CM分别是斜边上的高和中线，那么下列结论不一定成立的是（　　） A．∠ACD＝∠B B．∠ACD＝∠BCM C．∠ACM＝∠BCD D．∠ACD＝∠MCD 图1图2图3 （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，AD平分∠BAC，BE为边AC上的中线，BF⊥AD于点F，则∠EBF的度数为（　　） A．19° B．33° C．34° D．43° 【例5】如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E为BC边的中点，则点E到中线CD的距离EF的长为（　　） A．3 B．4 C． D． 【变式1】如图4，在△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，O为BC的中点，连接OD、OE，则∠DOE的度数为（　　） A．40° B．45° C．60° D．65° 图4图5图6 【变式2】如图5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠CDE的大小为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 【变式3】如图6，在Rt△ABC中，∠A