3.2.1函数单调性与最大（小）值 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一课时 3.2.1单调性与最大（小）值 我们的目标 1、理解函数的单调性概念 2、会判定和证明函数的单调性 观察下列函数图象,体会它们的特点: 单调性 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … f(x)=x2 … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 … 以二次函数f(x)=x2 为例,列出x,y的对应值表: 对比左图和上表，可以发现什么规律？ 图象在y轴右侧“上升”,也就是,在区间(0,+∞)上随着x的增大,相应的f(x)也随着增大. 图象在y轴左侧“下降”,也就是,在区间(-∞,0]上随着x的增大,相应的f(x)反而随着减小; 如何利用函数解析式 描述“随着x的增大,相应的f(x) 反而随着减小.” “随着x的增大,相应的 f(x)也随着增大.” 在区间 上，任取两个 ，得到 ，当 时，有 。这时，我们就说函数 在区间 上是增函数。 对于二次函数f(x)=x2 ,我们可以这样来描述“在区间(0,+∞) 上随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.”: 试一试:你能仿照这样的描述, 说明函数 在区间(-∞,0]上是减函数吗? 函数单调性的概念： 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数,如图1 . 2．减函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2 ，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2) ，那么就说f(x)在区间D上是减函数 ,如图2. 1．增函数 y x 0 x1 x2 f(x1) f(x2) y=f(x) 图1 y x 0 x1 x2 f(x1) f(x2) y=f(x) 图2 想一想为了说明一个函数在 某个区间上是增函数还是减函数, 我们应该重点说明哪些 要素? 1．在增、减函数定义中，能否把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”？ 提示：不能．如图所示． 问题探究 1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质. 2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2) 分别是增函数和减函数. 注意： 3．单调性与单调区间 如果函数 在区间D上是 那么就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做 的 增函数或减函数 单调区间 例1 下图是定义在区间[-5,5]的函数y=f(x),根据图象说出函数 的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数? 牛刀小试 解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中y=f(x)在区间[-5,-2) ,[1,3)上是减函数,在区间[-2,1), [3,5]上是增函数. 求证：函数 在区间 上是单调增函数． ，则 证明：在区间（0，+∞）上任取两个值 且 又因为 ， ，所以说 即函数 在区间（0，+∞）上是单调增函数. 思考 1 2 3 4 用定义证明函数单调性的步骤是： （1）取值 （2）作差变形 （3）定号 （4）判断 根据单调性的定义得结论 即取 是该区间内的任意两个值且 即求 ，通过因式分解、配方、有理化等方法 即根据给定的区间和 的符号的确定 的符号 若把区间改为 ,结论变化吗 ? 思考 若把函数改为 结论变化吗？ 1.函数的单调性概念; 2.增(减)函数的定义; 3.增(减)函数的图象特征; 4.增(减)函数的判定; 5.增(减)函数的证明. 小结 课本32页第3,4题 作业布置 画出反比例函数 的图象． 1 、这个函数的定义域是什么？ 2 、它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论． x y 0 思考 谢谢观看 虽然f(－1)<f(2)，但f(x)在[－1,2]上并不递增． 2．能说f(x)＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数吗？ 提示