10.3 复数的三角形式及其运算-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第四册)

10.3 复数的三角形式及其运算 一、复数的辅角 1、辅角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辅角. 2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作 【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。 二、复数的三角形式 定义：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辅角. 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。 二、复数的代数式与三角式互化 1、将复数化为三角形式时，要注意以下两点： （1）， （2），，其中终边所在象限与点所在象限相同， 当，时， 2、每一个不等于零的复数有唯依的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。 三、复数乘法运算的三角表示及其几何意义 1、复数乘法运算的三角表示：已知，， 则 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和。 2、复数乘法运算的几何意义：两个复数，相乘时，分别画出与，对应的向量，， 然后把向量绕点按逆时针方向旋转（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义。 3、复数乘法运算三角表示推广： 特别的，当时， 四、复数除法运算的三角表示及其几何意义 1、复数除法运算的三角表示：已知， 则 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商， 商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差. 2、两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按顺时针方向旋转（如果，就要把绕点按逆时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是商，这就是复数除法的几何意义。 题型一 复数的代数式与三角式互化 【例1】（2022春·高一课时练习）把复数化三角形式为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·江苏·高一专题练习）复数化成三角形式，正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）复数与下列复数相等的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·江苏·高一专题练习）的三角形式是______． 【变式1-4】（2023·全国·高一专题练习）已知，将复数表示成三角形式． 题型二 求复数的幅值主角 【例2】（2022春·高一课时练习）求复数的辐角的主值为________. 【变式2-1】（2023·高一课时练习）复数的辐角主值是___________. 【变式2-2】（2023·高一课时练习）已知复数的模为2，辐角为，则______． 【变式2-3】（2023·高一课时练习）已知复数z满足，且是纯虚数． （1）求z； （2）求z的辐角主值． 题型三 三角形式下复数的乘除运算 【例3】（2023·江苏·高一专题练习）复数的值是（ ） A． B．16 C． D． 【变式3-1】（2022春·高一课时练习）计算（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．则（ ） A．1 B． C． D．i 【变式3-3】（2023·全国·高一专题练习）计算： （1） （2） （3） （4） 题型四 复数乘除运算的几何意义 【例4】（2023·江苏·高一专题练习）将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（ ） A．＋i B．－＋I C．－－i D．－i 【变式4-1】（2023·全国·高一专题练习）将复数对应的向量绕原点逆时针方向旋转后，所得向量对应的复数为，则复数______． 【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）设复数在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，令对应的复数为的辐角主值为，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2023·江苏·高一专题练习）已知复数已在复平面内对应的点在第一象限，是虚数单位. （1）求实数的取值范围 （2）当时，求复数的三角表