9.2 用样本估计总体（精讲）-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教A版2019必修第二册)

9.2 用样本估计总体 重点：会用统计图表对总体进行估计，会求总体百分位数，能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度； 难点：能用样本估计总体的取值规律。 一、频率分布直方图 1、频率分布直方图 （1）列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤： ①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差； ②决定组距与组数：当样本容量不超过100时，按照数据的多少分成5~12组，且； ③将数据分组：通常对组内数值所在区间区左闭右开区间，最后一组取闭区间；也可以将样本数据多取一位小数分组． ④列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得到各小组的频率． ⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以的值为纵坐标绘制直方图。 （2）频率分布直方图的特点： ①， ②个小长方形的面积等于1， ③． （3）频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图， 一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义． （4）总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小， 频率分布直方图可以用一条光滑曲线来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线． 总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律． 2、根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 (1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替． (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． (3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据． 二、百分位数的计算 1．第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值， 且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据； 若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 三、样本估计总体 1、用样本的平均数估计总体平均数 （1）众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据； （2）中位数：将样本数据按大小顺序排列，若数据的个数为奇数，则最中间的数据为中位数， 若样本数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数作为中位数。 （3）平均数：设样本的数据为,则样本的算术平均数为； （4）众数、中位数和平均数的比较 名称 优点 缺点 平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大 中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感 众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感 （5）平均数相关结论： ①如果两组数和的平均数分别是和，则一组数的平均数是； ②如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为。 ③如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为 2、根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数 （1）平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替． （2）中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． （3）众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据． 四、总体离散程度的估计（方差、标准差） 用样本的标准差估计总体的标准差 （1）数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述； （2）极差（又叫全距）是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度； （3）样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小； 一般地，设样本的数据为，样本的平均数为， 定义样本方差为； 简化公式： =（方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方） （4）样本的标准差是方差的算术平方根． 样本标准差． 标准差越大数据离散程度越大，数据家分散；标准差越小，数据集中在平均数周围． （5）方差相关结论： ①如果一组数的方差为，则一组数的方差为； ②如果一组数的方差为，则一组数的方差为。 题型一 频率分布直方图的绘制与应用 【例1】（2023·全国·高一专题练习）采用简单随机抽样抽到一个容量为的样本数据，分组后，各组的频数如下表： 分组 频数 已知样本数据在区间内的频率为，则样本数据在区间内的频率为（ ） A． B． C． D． 【变式1