专题09 全等三角形证明方法：截长补短【考点串讲+热点题型专训】-2022-2023学年七年级数学下学期期中期末考点大串讲（北师大版）

专题09 全等三角形证明方法——截长补短 例题精讲： 例1．已知：如图，四边形中，平分，于E，且，判断、 和的关系，并说明理由． 例2．如图，四边形中，平分，于点E，，求证：．​ 例3．如图，已知为等腰三角形，，D为线段延长线上一点，连接，平分 交、于点E、F，且． （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）求证． 例4．如图，在中，，，是的一个外角的平分线，点D 在的延长线上，连接，，，且． 求证：（1）是等边三角形； （2）． 例5．已在等腰中，，，D为直线上一点，连接，过点C作， 且，连接，交于点F． （1）如图1，当点D在线段上，且时，请探究，，之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，在（1）的条件下，在上任取一点G，连接，作射线使，交的平分线于点Q，求证：． 专练过关： 1．如图，是的角平分线，，． （1）求的度数； （2）求证：． 2．如图所示，平分，平分，和相交于上一点E，如果， 证明：（1）；（2）． 3．如图，在中，，，是的角平分线．求证：； 4．在中，，，是的两条角平分线，且，交于点F． （1）用含的式子表示，则　 　； （2）当时，用等式表示，，这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论． 5．如图，中，，以直角边为腰，向外作等腰直角三角形，， ，点E是边上一点，且，． （1）探究：与的数量关系； （2）求证：． 6．如图，，，，，交于点P，若点C在上． （1），求的度数； （2）连接，求证：． 7．如图，和都是等腰三角形，，，，点E在上， 点F在射线上，连结，若． 求证：（1）；（2）． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 全等三角形证明方法——截长补短 例题精讲： 例1．已知：如图，四边形中，平分，于E，且，判断、 和的关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【详解】解：．理由如下： 在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴（等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合）， ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线，证出． 例2．如图，四边形中，平分，于点E，，求证：．​ 【答案】见解析 【详解】解：过点C作，交的延长线于点H，如图所示： 则， ∵平分，， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 例3．如图，已知为等腰三角形，，D为线段延长线上一点，连接，平分 交、于点E、F，且． （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）求证． 【答案】（1），证明见解析；（2）见解析 【详解】（1）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 化简，得：； （2）证明：延长至点K，使， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明与全等解答． 例4．如图，在中，，，是的一个外角的平分线，点D 在的延长线上，连接，，，且． 求证：（1）是等边三角形； （2）． 【答案】见解析 【详解】证明：（1）如图1，作于点E，交的延长线于F，则， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）如图2，作交于点G，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、同角的补角相等、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 例5．已在等腰中，，，D为直线上一点，连接，过点C作， 且，连接，交于点F． （1）如图1，当点D在线段上，且时，请探究，，之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，在（1）的条件下，在上任取一点G，连接，作射线使，交的平分线于点Q，求证：． 【答案】（1），理由见解析；（2）见解析 【详解】（1）解：； 在上找到G点使得，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：在上找到H点，使得，如图， ∵平分，∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证和是解题的关键． 专练过关： 1．如图，是的角平分线，，． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】（