2023年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2023年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，已知、分别为⊙O的直径和弦，D为弧的中点，于E，，． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)求直径的长． 2．如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AC平分∠DAB，于点D，E是AB延长线上一点． (1)试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若，，⊙O的半径为，求线段CE的长． 4．在中，，以为直径的交于点D，点E是边的中点，连结． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 5．如图，内接于，是的直径，过外一点作，交线段于点，交于点，交于点，连接，，． (1)求证：与相切； (2)若，平分，，求的长． 6．如图，为的直径，点C为上一点，于点D，平分． (1)求证：直线是的切线； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 7．如图，是的外接圆，为的直径，点为上一点，交的延长线于点，与交于点，连接，若． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径． 8．如图，在中，，与⊙A相切于点，过点A作的垂线交的延长线于点，交⊙A于点，连接． (1)求证：是⊙A的切线； (2)若，，求⊙A的半径． 9．AB为的直径，C是上的一点，D在AB的延长线上，且， (1)CD与相切吗？如果相切，请你加以证明；如果不相切，请说明理由． (2)若，BD＝12cm．求的半径． 10．如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)求AD的长． 11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D． (1)求证：直线AB是⊙O的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 12．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为4，求图中阴影部分（弧BC、线段BD及CD围成的图形）的面积． 13．如图，是的直径，是上一点，连接，过外点作于点，交于点，连接，，且． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求的长． 14．如图所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DAB＝22.5°，延长AB到点C，使得∠ACD＝45°． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若AB＝2，求BC的长． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC交BA的延长线于点E，交AC于点F． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若AC＝6，tanE＝，求AF的长． 16．如图，AB为直径，弦BC平分∠DBA，BD与⊙O交于点E，过点C作BD的垂线于D． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)如果，OA = 2，求DE的长． 17．如图，已知⊙O经过菱形ABCD的顶点A,C,且与CD相切，直径CF交AB于点E． (1)求证：AD与⊙O相切； (2)若,求的值． 18．如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC，点C，D在⊙O上，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若，，求AD的长． 试卷第6页，共6页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理和垂径定理证明，再根据切线的判定证明结论即可； （2）由（1）中可知四边形是矩形，根据矩形性质和垂径定理求得，再根据勾股定理求解即可． 【解析】（1）证明：如图，连接，， ∵为直径， ∴ ∵， ∴， ∵D为弧的中点， ∴，, ∴，又为半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）知，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系和运用，证得四边形是矩形是解答的关键． 2．(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接，由证明，得，即可证明直线是的切线； （2）根据圆周角定理和等边三角形的判定和性质，证出是等边三角形，进一步即可得到结论； 【解析】（1）证明：如图，连接， 则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线； （2）解： ∵线段是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 【点评】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质