第7章 第6节 第2课时 向量法求解翻折、探索性、最值问题（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

1．图1是直角梯形ABCD，AB∥DC，∠D＝90°，AB＝2，DC＝3，AD＝，＝2.以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1＝，如图2. (1)证明：平面BC1E⊥平面ABED； (2)求直线BC1与平面AC1D所成角的正弦值． 解：(1)证明：在图①中，连接AE，AC，AC交BE于F. ∵＝2，DC＝3， ∴CE＝2，∴AB＝CE. 又AB∥CD，∴四边形AECB是平行四边形． 在Rt△ACD中，AC＝＝2， ∴AF＝CF＝. 在图②中，AC1＝，∵AF2＋C1F2＝AC，∴C1F⊥AF， 由题意得C1F⊥BE，又BE∩AF＝F， ∴C1F⊥平面ABED，又C1F⊂平面BC1E， ∴平面BC1E⊥平面ABED. (2)如图②，以D为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系． 则D(0，0，0)，A(，0，0)，B(，2，0)，E(0，1，0)，F，C1， ∴＝，＝(，0，0)，＝. 设平面AC1D的法向量为n＝(x，y，z)， 由得 取z＝，得n＝(0，－2，)，∴|n|＝. 记直线BC1与平面AC1D所成的角为θ， 则sin θ＝＝＝. 2．(2021·北京高考)已知正方体ABCD ­A1B1C1D1，点E为A1D1中点，直线B1C1交平面CDE于点F. (1)求证：点F为B1C1的中点； (2)若点M为棱A1B1上一点，且二面角M ­CF ­E的余弦值为，求的值． 解：(1)证明：如图所示，取B1C1的中点F′， 连接DE，EF′，F′C， 由于ABCD ­A1B1C1D1为正方体，E，F′为中点，故EF′∥CD， 从而E，F′，C，D四点共面， 平面CDE即平面CDEF′， 据此可得，直线B1C1交平面CDE于点F′， 当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F与点F′重合， 即点F为B1C1的中点． (2)以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为2， 设＝λ(0≤λ≤1)，则M(2，2λ，2)，C(0，2，0)，F(1，2，2)，E(1，0，2)， 从而＝(－2，2－2λ，－2)，＝(1，0，2)，＝(0，－2，0)， 设平面MCF的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则 令z1＝－1可得m＝(λ≠1)， 设平面CFE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则 令z2＝－1可得n＝(2，0，－1)， 从而m·n＝5，|m|＝，|n|＝， 则cos 〈m，n〉＝＝＝. 整理可得(λ－1)2＝，故λ＝. 所以＝. 3．如图，四棱锥S ­ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点． (1)求证：AC⊥SD； (2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面DAC夹角的大小； (3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由． 解：(1)证明：如图，连接BD，设AC交BD于点O，连接SO. 由题意知，SO⊥平面ABCD，以O为坐标原点， 以OB，OC，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设底面边长为a，则高SO＝a， 于是S，D，C. 于是＝，＝. 则·＝0， 故OC⊥SD，从而AC⊥SD. (2)由题设知，平面PAC的一个法向量＝，平面DAC的一个法向量＝. 设平面PAC与平面DAC的夹角为θ， 则cos θ＝|cos 〈·〉|＝＝， 所以平面PAC与平面DAC夹角的大小为30°. (3)假设在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC. 根据第(2)问知是平面PAC的一个法向量， 且＝，＝(0，－a，a). 设＝t(0≤t≤1)， 因为B，C， 所以＝， 则＝＋＝＋t＝. 又·＝0，得－＋0＋a2t＝0， 则t＝， 当SE∶EC＝2∶1时，⊥. 由于BE⊄平面PAC，故BE∥平面PAC. 因此在棱SC上存在点E，使BE∥平面PAC，此时SE∶EC＝2∶1. 4．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD. (1)求证：AB⊥PD； (2)若∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P­ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC的夹角的余弦值． 解：(1)证明：因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以AB⊥平面PAD，故AB⊥PD. (2)如图，过点P作AD的垂线，垂足为点O，过点O作BC的垂线，垂足为点G，连接PG， 则PO⊥平面ABCD，BC⊥平面POG，BC⊥PG. 在Rt△BPC中，BC＝，PG＝，GC＝，BG＝. 设AB＝m，则OP＝＝， 故四棱锥P­AB