第7章 第6节 第1课时 向量法求空间角、距离（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

A－基础巩固题组 1．已知平面α的一个法向量是m＝(－2，－1，2)，点A(3，4，－1)是平面α内的一点，则点P(1，2，－1)到平面α的距离是(　　) A．1 B． C．2 D．2 解析：选C．因点A(3，4，－1)是平面α内的一点，而P(1，2，－1)，则＝(－2，－2，0)，又平面α的一个法向量是m＝(－2，－1，2)，所以点P到平面α的距离d＝＝＝2. 2．如图，已知棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1，E，F，G分别为AB，CD1，AD的中点，则异面直线A1G与EF所成角的余弦值为(　　) A．0 B． C． D．1 解析：选A．如图，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则A1(2，0，2)，G(1，0，0)，E(2，1，0)，F(0，1，1)，所以＝(－1，0，－2)，＝(－2，0，1)， 设异面直线A1G与EF所成的角为θ，则cos θ＝＝＝0. 3．如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，＝(0，0，2)，＝(1，0，0)，＝(0，2，0)，设平面CAB与平面ABO的夹角为θ，则cos θ＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B．因为＝(0，0，2)，＝(1，0，0)，＝(0，2，0)，所以＝(－1，2，0)，＝(－1，0，2)， 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则即取n＝(2，1，1)， 又因为平面ABO的法向量为＝(0，0，2)，所以cos θ＝＝＝，故选B． 4．如图，点C在圆锥PO的底面圆O上，AB是直径，AB＝8，∠BAC＝30°，圆锥的母线与底面成的角为60°，则点A到平面PBC的距离为(　　) A． B．2 C． D． 解析：选C．如图，过点O作AB的垂线Ox，以Ox，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由题意可得A(0，－4，0)，B(0，4，0)，C(－2，2，0)，P(0，0，4)， 所以＝(2，2，0)，＝(0，－4，4)，＝(0，4，4). 设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)， 则所以 所以y＝z＝－x，所以取m＝(－1，，1)， 所以d＝＝＝，所以点A到平面PBC的距离为. 5．(多选)如图，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝2，BC＝2，AC＝4，A到平面PBC的距离为，则(　　) A．PA＝4 B．三棱锥P­ABC的外接球的表面积为32π C．直线AB与直线PC所成角的余弦值为 D．AB与平面PBC所成角的正弦值为 解析：选ABD．因为AB＝2，BC＝2，AC＝4， 所以AB2＋BC2＝AC2，即AB⊥BC， 又因为PA⊥平面ABC， 所以PA⊥AB，PA⊥BC，设AP＝a， 根据等体积法VP­ABC＝VA­PBC，即××2×2×a＝××2××， 解得a＝4，所以AP＝a＝4，故A选项正确； 所以三棱锥P­ABC的外接球的半径与以BC，BA，AP为邻边的长方体的外接球的半径相等， 所以三棱锥P­ABC的外接球的半径为2， 所以三棱锥P­ABC的外接球的表面积为32π，故B选项正确； 过点B作PA的平行线BD，则BD⊥平面ABC， 所以以点B为坐标原点，BC，BA，BD所在边分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)， 则B(0，0，0)，C(2，0，0)，A(0，2，0)，P(0，2，4)， 所以＝(0，－2，0)，＝(2，－2，－4)， 所以cos 〈，〉＝＝＝， 所以直线AB与直线PC所成角的余弦值为，故C选项错误； 因为＝(2，0，0)，＝(0，2，4)， 设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)， 则即令z＝1， 所以m＝(0，－2，1)，由于＝(0，－2，0)， 故设AB与平面PBC所成角为θ， 则sin θ＝＝＝＝， 所以AB与平面PBC所成角的正弦值为，故D选项正确． 6．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则△D1GF的面积为________. 解析：以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)， 则D1(0，0，2)，G(0，2，1)，F(1，1，0)，＝(－1，－1，2)，＝(－1，1，1)， ∴点D1到直线GF的距离d＝＝＝. ∴点D1到直线GF的距离为，又||＝， ∴S＝××＝. 答案： 7．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为___________________. 解析：如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则D1(0，0，1)，E(1，1，0)，A(1，0，0)，C(0，