第7章 第5节 空间向量的运算及应用（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

A－基础巩固题组 1．已知a＝(2，1，－3)，b＝(0，－3，2)，c＝(－2，1，2)，则a·(b＋c)等于(　　) A．18 B．－18 C．3 D．－3 解析：选B．因为b＋c＝(－2，－2，4)，所以a·(b＋c)＝－4－2－12＝－18. 2．(多选)下列各组向量中，是平行向量的是(　　) A．a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4) B．c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0) C．e＝(2，3，0)，f＝(0，0，0) D．g＝(－2，3，5)，h＝(16，－24，40) 解析：选ABC．对于A，有b＝－2a，所以a与b是平行向量； 对于B，有d＝－3c，所以c与d是平行向量； 对于C，f是零向量，与e是平行向量； 对于D，不满足g＝λh，所以g与h不是平行向量． 3．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B．由x＋y＋z＝1，得P，A，B，C四点共面， 当P，A，B，C四点共面时，x＋y＋z＝1，显然不止2，－3，2. 故“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件． 4．已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(1，1，n)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 解析：选A．由题意，a·b＝1＋0＋n＝3，解得n＝2，又|a|＝＝，|b|＝＝， 所以cos 〈a，b〉＝＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为. 5．直线l的一个方向向量为(2，1，1)，平面α的一个法向量为(4，2，2)，则(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l∥α或l⊂α D．l与α的位置关系不能判断 解析：选B．直线l的一个方向向量为(2，1，1)，平面α的一个法向量为(4，2，2)， 显然它们共线，所以l⊥α. 6．已知a＝(x，1，1)，b＝(－2，2，y)，a·b＝0，则2x－y＝________. 解析：因为a＝(x，1，1)，b＝(－2，2，y)，a·b＝0，所以－2x＋2＋y＝0，2x－y＝2. 答案：2 7．已知空间三点A(0，2，3)，B(2，5，2)，C(－2，3，6)，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为________. 解析：由题意可得＝(2，3，－1)，＝(－2，1，3)，||＝＝，||＝＝， 所以cos ∠BAC＝＝－，所以sin ∠BAC＝， 所以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为S＝ × ×＝6 . 答案：6 8．(2023·杭州模拟)在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cos ∠EAF＝________；EF＝________. 解析：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， ∵正方体棱长为1，则E，F(1，0，)， ∴＝，＝，＝， cos 〈，〉＝＝＝， ∴cos ∠EAF＝，EF＝||＝＝. 答案：　 9．如图，在直三棱柱ADE­BCF中，四边形ABFE和四边形ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点． 求证：(1)OM∥平面BCF； (2)平面MDF⊥平面EFCD. 证明：(1)由题意，AB，AD，AE两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方形边长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，F(1，0，1)，M(，0，0)，O(，，)，＝(0，－，－)，＝(－1，0，0)， ∴·＝0，OM⊥AB. ∵三棱柱ADE­BCF是直三棱柱，∴AB⊥平面BCF，∴是平面BCF的一个法向量，且OM⊄平面BCF， ∴OM∥平面BCF. (2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别是n1＝，n2＝ . ∴＝(1，－1，1)，＝(1，0，0)，＝(，－1，0)，所以 令x1＝2得n1＝(2，1，－1)，同理 令y2＝1得n2＝(0，1，1)，∵n1·n2＝0， ∴平面MDF⊥平面EFCD. 10．如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点． (1)求证：EF∥平面A1B1BA； (2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1. 证明：因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC. 因为AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1， 所以以过E作平行于BB1的垂线为z轴，EC，EA所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为AB＝3，BE＝，所以AE＝2，所以E(0，0，0)