第7章 第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

A－基础巩固题组 1．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　) A．点A B．点B C．点C但不过点M D．点C和点M 解析：选D．∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据基本事实3可知，M在γ与β的交线上． 同理可知，点C也在γ与β的交线上． 2．已知空间中不过同一点的三条直线a，b，l，则“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A．空间中不过同一点的三条直线a，b，l，若a，b，l在同一平面，则a，b，l相交或a，b，l有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．所以a，b，l在同一平面，则a，b，l两两相交不一定成立；而若a，b，l两两相交，则a，b，l在同一平面成立．故“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的充分不必要条件． 3．(多选)(2022·临沂模拟)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是(　　) A．C1，M，O三点共线 B．C1，M，O，C四点共面 C．C1，O，B1，B四点共面 D．D1，D，O，M四点共面 解析：选AB．∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1， ∴O∈平面ACC1A1. ∵O∈BD，BD⊂平面C1BD， ∴O∈平面C1BD， ∴O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，同理可得，点M和C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点， ∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上， 即C1，M，O三点共线，故A，B正确； 根据异面直线的判定定理可得BB1与C1O为异面直线，故C1，O，B1，B四点不共面，故C不正确； 根据异面直线的判定定理可得DD1与MO为异面直线，故D1，D，O，M四点不共面，故D不正确． 4．(多选)下列说法不正确的是(　　) A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面 B．和同一条直线异面的两直线一定共面 C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行 D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交 解析：选ABD．两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误； 如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，同样DD1与B1C1也是异面直线，故B错误； 如图2，设直线AB与CD是异面直线，则直线AC与BD一定不平行，否则AC∥BD，有AC与BD确定一个平面α，则AC⊂α，BD⊂α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB⊂α，CD⊂α，这与假设矛盾，故C正确； 如图1，AB∥CD，而直线AA1与AB相交，但与直线CD不相交，故D错误． 　 5．在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析：选C．如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角或其补角．因为在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝， AD1＝＝2， DM＝＝， DB1＝＝. 所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝， 于是在△DMO中，由余弦定理， 得cos ∠MOD＝＝， 即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为. 6.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为________. 解析：连接A1D，如图所示．则A1D∥B1C，故∠A1DE为异面直线DE与B1C所成角或其补角，连接DC1，则A1D＝DC1，因为E为A1C1的中点，故DE⊥A1E. 在Rt△A1ED中，因为A1E＝A1C1，而A1C1＝A1D，所以A1E＝A1D， 故∠A1DE＝. 答案： 7．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________. 解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD， 因为C是圆柱下底面弧AB的中点， 所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD. 因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝AD， 所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为. 答案： 8．如图，已知圆柱的上底面圆心为O，高和底面圆的半径相等，AB是底面圆的一条直径，点C为