第7章 第1节 空间的几何体及其直观图、简单几何体的表面积与体积（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

A－基础巩固题组 1．(多选)已知正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，若θ＝30°，侧棱长为，则(　　) A．正四棱锥的底面边长为6 B．正四棱锥的底面边长为3 C．正四棱锥的侧面积为24 D．正四棱锥的侧面积为12 解析：选AC．如图，在正四棱锥S ­ABCD中，O为正方形ABCD的中心，SH⊥AB， 设底面边长为2a(a＞0)，因为∠SHO＝30°，所以OH＝a，OS＝a，SH＝a，在Rt△SAH中，a2＋＝21，所以a＝3，底面边长为6，侧面积为S＝×6×2×4＝24.故选AC． 2．(2022·天津和平区模拟)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A­B1CD1的体积为(　　) A． B． C．4 D．6 解析：选B．如图，三棱锥A­B1CD1是由正方体ABCD­A1B1C1D1截去四个小三棱锥A­A1B1D1，C­B1C1D1，B1­ABC，D1­ACD， 又V＝23＝8，V＝V＝V＝V＝××23＝，所以V＝8－4×＝. 3．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是(　　) A．4立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．8立方丈 解析：选B．如图，过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，过H作MN∥BC，交AB于N，交CD于M，由图形的对称性可知，AQ＝BN＝1，QN＝2，且四边形AQPD与四边形NBCM都是矩形． 则它的体积V＝VE­AQPD＋VEPQ­FMN＋VF­NBCM＝·EG·S矩形AQPD＋S△EPQ·NQ＋·FH·S矩形NBCM＝×1×1×3＋×3×1×2＋×1×1×3＝5(立方丈). 4．已知三棱台ABC­A1B1C1中，三棱锥A­A1B1C1的体积为4，三棱锥A1­ABC的体积为8，则该三棱台的体积为(　　) A．12＋3 B．12＋4 C．12＋4 D．12＋4 解析：选B．设S△ABC＝S1，S＝S2，棱台高为h，由已知V＝ S2h＝4，得S2＝， V＝ S1h＝8，得S1＝， 三棱台ABC­A1B1C1的体积为V＝ h(S1＋S2＋ )＝ h＝12＋4 . 5．(2020·全国Ⅰ卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(　　) A．64π B．48π C．36π D．32π 解析：选A．如图所示，设球O的半径为R，⊙O1的半径为r， 因为⊙O1的面积为4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以＝2r，解得AB＝2，故OO1＝2，所以R2＝OO＋r2＝(2)2＋22＝16，所以球O的表面积S＝4πR2＝64π. 6．(2023·湖北武汉模拟)玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六器”，是古人用于祭祀神祇的一种礼器．《周礼》中载有“以玉作六器，以礼天地四方，以苍璧礼天，以黄琮礼地”等文．如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，圆筒内径2.0 cm，外径2.4 cm，筒高6.0 cm，方高4.0 cm，则其体积约为(单位：cm3)(　　) A．23.04－3.92π B．34.56－3.92π C．34.56－3.12π D．23.04－3.12π 解析：选D．由题图可知，组合体由圆柱、长方体构成，组合体的体积为V＝2×π×＋4×2.4×2.4－π×12×6＝23.04－3.12π. 7．如图是水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系Oxy中，点B的坐标为(2，2)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________. 解析：利用斜二测画法作正方形ABCO的直观图如图， 在坐标系O′x′y′中，B′C′＝1，∠x′C′B′＝45°.过点B′作x′轴的垂线，垂足为点D′.在Rt△B′D′C′中，B′D′＝B′C′sin 45°＝1×＝. 答案： 8．已知圆锥的顶点为A，过母线AB，AC的截面面积是2.若AB，AC的夹角是60°，且AC与圆锥底面所成的角是30°，则该圆锥的表面积为________. 解析：如图所示，∵AB，AC的夹角是60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形，∴×AC2＝2，解得AC＝2.∵AC与圆锥底面所成的角是30°，∴圆锥底面半径r＝OC＝AC cos 30°＝2×＝.则该圆锥的表面积＝π×()2＋×2π××2＝(6＋4)π. 答案：(