第6章 第4节 数列求和（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

A－基础巩固题组 1．在数列{an}中，a1＝，且(n＋2)an＋1＝nan，则它的前20项和S20＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C．由题意得＝，则××…×＝×××…×××，即＝，故an＝×a1＝－，则Sn＝1－＋－＋－＋…＋－＝，故S20＝. 2．已知函数f(x)＝ 3＋1，则f()＋f＋…＋f＋f()的值为(　　) A．1 B．2 C．2 022 D．2 023 解析：选D．函数f(x)＝＋1，设m＋n＝1，则有m－＝－， 所以f(m)＋f(n)＝＋1＋＋1＝2， 所以当m＋n＝1时，f(m)＋f(n)＝2， 令S＝f＋f＋…＋f()＋f， 所以2S＝＋…＋＝2×2 023， 故S＝f＋f＋…＋f＋f＝2 023. 3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a9＝a12＋6，a2＝4，则数列的前10项和为(　　) A． B． C． D． 解析：选B．设等差数列{an}的公差为d，由a9＝a12＋6及等差数列的通项公式得a1＋5d＝12， 又a2＝4，所以a1＝2，d＝2，所以Sn＝n2＋n，所以＝＝－， 所以＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝. 4．在数列{an}中，若an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}的前12项和等于(　　) A．76 B．78 C．80 D．82 解析：选B．∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴an＋2＋(－1)n＋1an＋1＝2n＋1. ∴an＋2＋an＝ ∴S12＝(a1＋a3＋…＋a11)＋(a2＋a4＋…＋a12)＝2×3＋4(2＋6＋10)＝78.故选B． 5．(多选)数列{an}满足a1＝1，且对任意的n∈N*都有an＋1＝an＋n＋1，则(　　) A．an＝ B．数列 的前100项和为 C．数列 的前100项和为 D．数列{an}的第100项为50 050 解析：选AB．因为an＋1＝an＋n＋1，所以an＋1－an＝n＋1，又a1＝1，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝，所以数列{an}的第100项为5 050，故A正确，D错误；所以＝＝2，所以数列 的前100项和为2＝2＝，故B正确，C错误． 6．数列{an}满足＝－，a1＝1，a5＝，bn＝，则数列{bn}的前n项和为Sn＝______________. 解析：数列{an}满足＝－，即数列{an}满足＋＝，∴数列是等差数列，设公差为d，则9＝＝＋4d，解得d＝2.∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴bn＝＝(2n－1)·2n，则数列{bn}的前n项和为Sn＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n，2Sn＝22＋3×23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，相减可得：－Sn＝2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1＝2＋2×－(2n－1)·2n＋1＝2－8(1－2n－1)－(2n－1)·2n＋1＝－6＋2×2n＋1－(2n－1)·2n＋1＝－(2n－3)·2n＋1－6，化为Sn＝(2n－3)·2n＋1＋6. 答案：(2n－3)·2n＋1＋6 7．已知数列的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，不等式12Tn<a2－a恒成立，则实数a的取值范围是________________. 解析：因为＝(－)，所以Tn＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝(1－)＝－·<，又因为12Tn<a2－a恒成立，所以12×≤a2－a，解得a≤－2或a≥3. 答案：(－∞，－2]∪[3，＋∞) 8．正项数列{an}中，满足a1＝1，a2＝，＝ (n∈N*)，那么a1·a3＋a2·a4＋a3·a5＋…＋an·an＋2＝________. 解析：由＝ (n∈N*)，可得a＝anan＋2，∴数列{an}为等比数列．∵a1＝1，a2＝，∴q＝，∴an＝，∴an·an＋2＝ ·＝，∴a1·a3＝，a1·a3＋a2·a4＋a3·a5＋…＋an·an＋2＝＝ . 答案： 9．(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； (2)求{an}的前20项和． 解：(1)由题设可得b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5. 又a2n＋2＝a2n＋1＋1，a2n＋1＝a2n＋2， 故a2n＋2＝a2n＋3，即bn＋1＝bn＋3，即bn＋1－bn＝3. 所以数列{bn}为等差数列，故bn＝2＋(n－1)×3＝3n－1，n∈N*. (2)设{an}的前20项和为S20，则S20＝a1＋a2＋a3＋…＋a20， 因为a1＝a2－1，a3＝a4－1，…，a19＝a20－1， 所以S20＝2(a2＋a4＋…＋