第6章 第3节 等比数列（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

A－基础巩固题组 1．(2020·全国卷Ⅰ)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　) A．12 B．24 C．30 D．32 解析：选D．设等比数列{an}的公比为q，因为a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，所以q(a1＋a2＋a3)＝2，解得q＝2.所以a6＋a7＋a8＝q5(a1＋a2＋a3)＝25＝32，故选D． 2．(2022·东北五校联考)若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an，则下列叙述正确的是(　　) A．{an}是等差数列 B．{an}是等比数列 C．{an}既是等差数列又是等比数列 D．{an}既不是等差数列又不是等比数列 解析：选A．因为Sn＝an，所以当n≥2时，Sn－1＝an－1，则an＝an－an－1，则an－1＝0(n≥2)，当n＝2时，a1＝0，所以数列{an}是各项均为0的常数列，所以数列{an}为等差数列，而非等比数列． 3．(多选)已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，前n项和为Sn，则(　　) A．q＝2 B．an＝2n C．S10＝2 047 D．an＋an＋1<an＋2 解析：选ABD．由题意2q3＝4q＋2q2，得q2－q－2＝0，解得q＝2(负值舍去)，选项A正确； an＝2×2n－1＝2n，选项B正确； Sn＝＝2n＋1－2，所以S10＝2 046，选项C错误； an＋an＋1＝2n＋2n＋1＝3×2n＝3an，而an＋2＝2n＋2＝4×2n＝4an>3an，选项D正确． 4．在数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且＝2＋(－1)n(n∈N*)，Sn为数列{an}的前n项和，则S100等于(　　) A．＋50 B．＋50 C．＋50 D．＋50 解析：选C．由题意＝2＋(－1)n(n∈N*)， 当n为偶数时，可得＝3； 当n为奇数时，可得＝1， 即数列的偶数项是公比为3的等比数列，奇数项都为1， 由求和公式可得S100＝＋50＝＋50. 5．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＝－24，a4＝－，则当Tn取得最大值时，n的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：选C．设等比数列{an}的公比为q，则a4＝－24q3＝－，所以q3＝，q＝，易知此等比数列各项均为负数，则当n为奇数时，Tn为负数，当n为偶数时，Tn为正数，所以Tn取得最大值时，n为偶数，排除B；而T2＝(－24)2×＝24×8＝192，T4＝(－24)4× ＝84×＝>192，T6＝(－24)6×＝86×＝＝×<，所以T4最大．故选C． 6．在数列{an}中，Sn为它的前n项和，已知a2＝1，a3＝6，且数列{an＋n}是等比数列，则an＝________，Sn＝________________. 解析：因为a2＝1，a3＝6，且数列{an＋n}是等比数列，a2＋2＝3，a3＋3＝9，所以等比数列{an＋n}的公比q＝＝3，所以a1＋1＝1，an＋n＝1×3n－1＝3n－1，所以an＝3n－1－n，所以Sn＝30－1＋31－2＋…＋3n－1－n＝－＝. 答案：3n－1－n　 7．设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列．若a1＋a5＋a9＝π，则cos (a2＋a8)＝________；若bn>0，且b5b6＋b4b7＝4，则b1b2…b10＝________. 解析：因为数列{an}为等差数列，a1＋a5＋a9＝π， 所以3a5＝π⇒a5＝， 所以cos (a2＋a8)＝cos (2a5)＝cos ＝－ . 又因为数列{bn}为等比数列，bn>0，且b5b6＋b4b7＝4， 所以2b5b6＝4⇒b5b6＝2，所以b1b2…b10＝(b5b6)5＝25＝32. 答案：－ 　32 8．已知数列{an}的前n项和Sn＝3an－2n(n∈N*)，若{an＋λ}成等比数列，则实数λ＝________. 解析：数列{an}的前n项和Sn＝3an－2n(n∈N*)，① 则n≥2时，Sn－1＝3an－1－2(n－1)，② ①－②，得an＝3an－3an－1－2， ∴2an＝3an－1＋2， ∴an＝ an－1＋1，若{an＋λ}成等比数列， 则an＋λ＝ (an－1＋λ)，解得λ＝2. 答案：2 9．数列的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)，求证： (1)数列{}是等比数列； (2)Sn＋1＝4an. 解：(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn， ∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)， 即nSn＋1＝2(n＋1)Sn，∴＝2·. 故{}是以2为公比的等比数列． (2)由(1)可知＝2·＝2·2·(n≥2，且n∈N*)， ∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－