第6章 第1节 数列的概念（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

A－基础巩固题组 1．(2023·山东潍坊一模)已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn＝n2＋4n＋1，则a1＋a3＋a5＝(　　) A．27 B．28 C．29 D．30 解析：选B．因为Sn＝n2＋4n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝6，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3.经检验，当n＝1时不符合，所以an＝所以a1＋a3＋a5＝28.故选B． 2. 若{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1 (n≥1，n∈N*)，则该数列的通项公式为(　　) A．an＝2n－1 B．an＝2n＋1 C．an＝2n＋1－1 D．an＝2n＋1＋1 解析：选A．因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，所以＝2，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝2，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·2n－1，所以该数列的通项公式为an＝2·2n－1－1＝2n－1.故选A． 3．已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2 023＝(　　) A．－1 B． C．1 D．2 解析：选B．由a1＝，an＋1＝得a2＝2，a3＝－1，a4＝，a5＝2，…，可知数列{an}是以3为周期的数列，因此a2 023＝a3×674＋1＝a1＝. 4．已知递增数列{an}，an≥0，a1＝0.对于任意的正整数n，不等式t2－a－3t－3an≤0恒成立，则正数t的最大值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．6 解析：选C．因为数列{an}是递增数列，又t2－a－3t－3an＝(t－an－3)(t＋an)≤0，t＋an>0，所以t≤an＋3恒成立，即t≤(an＋3)min＝a1＋3＝3，所以tmax＝3. 5．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝则(　　) A．a6＝19 B．a7>a6 C．S5＝22 D．S6>S5 解析：选BC．因为an＝所以a1＝4，a2＝－2，a3＝10，a4＝－6，a5＝16，a6＝－10，a7＝22，所以A错误，B正确；S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝4＋(－2)＋10＋(－6)＋16＝22，故C正确；因为a6＝－10，所以S6－S5＝a6<0，所以S6<S5，故D错误．故选BC． 6．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4＝________，an＝________. 解析：由题意可得a1＝1，an＋1－an＝n，则当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝1＋＝，又a1＝1也适合上式，故an＝，则a4＝＝7. 答案：7　 7．已知数列{an}满足21·a1＋22·a2＋23·a3＋…＋2n·an＝(n－1)·2n＋1＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________. 解析：∵2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n－1an－1＋2nan＝(n－1)·2n＋1＋2，∴2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n－1an－1＝(n－2)·2n＋2(n≥2)，两式相减，得2nan＝n·2n，即an＝n(n≥2)，当n＝1时，a1＝1，适合an＝n，故an＝n(n∈N*). 答案：n 8．请写出一个符合下列要求的数列{an}的通项公式：①{an}为无穷数列；②{an}为单调递增数列；③0<an<2.这个数列的通项公式可以是________. 解析：因为函数an＝2－的定义域为N*，且an＝2－在N*上单调递增，0<2－<2，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是an＝2－. 答案：an＝2－(答案不唯一) 9．如果连续自然数数列a1，a2，…，an，…满足lg 2＋lg ＋lg ＋…＋lg ＝lg n，那么这个数列最多有几项？并求数列的前n项和Sn. 解：由已知得：2···…·＝n， 即2····…·＝n.∵a1，a2，…，an，…为连续自然数， ∴上式可化简为2·＝n，即2·＝n， ∴2n＋2a1＝na1，即(n－2)(a1－2)＝4. 若要n最大，且n∈N*，则只能有∴ ∴该数列最多有6项，首项为3，∴S6＝3＋4＋5＋6＋7＋8＝33. 10．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0). (1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围． 解：(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)， 又a＝－7，∴an＝1＋(n∈N*). 结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…＞an>1(n∈N*). ∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0. (2)an＝1＋＝1＋， 已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立， 结合函数f(x)＝1＋的单调性， 可知