第5章 第3节 平面向量的数量积及其应用（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

A－基础巩固题组 1．(多选)已知向量a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，c＝(1，1)，设a，b的夹角为θ，则(　　) A．|a|＝|b| B．a⊥c C．b∥c D．θ＝135° 解析：选BD．由a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，得a＝(－1，1)，b＝(2，0)，则|a|＝，|b|＝2，故A不正确； a·c＝－1×1＋1×1＝0，故B正确； 不存在λ∈R，使b＝λc成立，故C不正确； cos θ＝＝＝－，所以θ＝135°，故D正确．综上知选BD． 2．非零向量a，b，c满足a·b＝a·c，a与b的夹角为，|b|＝4，则c在a上的投影向量的长度为(　　) A．2 B．2 C．3 D．4 解析：选B．由a·b＝a·c，可得|a||b|cos 〈a，b〉＝|a||c|cos 〈a，c〉，因为|a|≠0，所以|c|cos 〈a，c〉＝|b|cos 〈a，b〉＝4×cos ＝2，所以c在a上的投影向量的长度为|c||cos 〈a，c〉|＝2. 3．(2023·石家庄模拟)已知向量a＝(2，－2)，b＝(2，1)，b∥c，a·c＝4，则|c|等于(　　) A．2 B．4 C．5 D．4 解析：选A．因为b∥c，所以c＝λb＝(2λ，λ)(λ∈R)，又a·c＝4λ－2λ＝2λ＝4，所以λ＝2，c＝(4，2)，|c|＝＝2. 4．已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·等于(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析：选C．因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2. 5．(多选)已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则(　　) A．|a＋b|＝2 B．a与b垂直 C．a与a－b的夹角为 D．|a－b|＝1 解析：选BC．|a＋b|＝＝，故A错误； 因为a，b是单位向量，所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，a与b垂直，故B正确； |a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2，|a－b|＝，故D错误； cos 〈a，a－b〉＝＝＝，所以a与a－b的夹角为，故C正确． 6．(多选)如图，点A，B在圆C上，则·的值(　　) A．与圆C的半径有关 B．与圆C的半径无关 C．与弦AB的长度有关 D．与点A，B的位置有关 解析：选BC．如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB于D， 则D是AB的中点，故·＝||·||·cos ∠CAD＝||·||·＝||2，故·的值与圆C的半径无关，只与弦AB的长度有关，故选BC． 7．在边长为2的正三角形ABC中，M是BC的中点，D是线段AM的中点．①若＝x＋y，则x＋y＝________；②·＝________. 解析：①∵M是BC的中点，∴＝， ∵D是AM的中点，∴＝＋＝＋，∴x＝，y＝，∴x＋y＝. ②∵△ABC是边长为2的正三角形，M是BC的中点，∴AM⊥BC，且BM＝1， ∴·＝||||cos ∠DBM＝||2＝1. 答案：　1 8．(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________. 解析：由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，因此a·b＋b·c＋c·a＝－. 答案：－ 9．(2020·北京高考)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝(＋)，则||＝________；·＝________. 解析：建立如图所示的平面直角坐标系， ∵＝(＋)，∴P为BC的中点．∴点P的坐标为(2，1)，点D的坐标为(0，2)，点B的坐标为(2，0)， ∴||＝，＝(0，－1)，＝(－2，1)，∴·＝－1. 答案：　－1 B－能力拔高题组 10．(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则(　　) A．||＝|| B．||＝|| C．·＝· D．·＝· 解析：选AC．因为||＝＝1，||＝＝1，所以A项正确．因为||＝，||＝＝，当α＝，β＝时，||≠||，所以B项错误．因为＝(1，0)，＝(cos(α＋β)，sin (α＋β))，＝(cos α，sin α)，＝(cos β，－sin β)，所以·＝cos (α＋β)，·＝cos αcos β－sin αsin β＝cos (α＋β)，所以C项正确．因为·＝cos α，·＝cos βcos (α＋β)－sin βsin (α＋β)＝cos (β＋α＋β)≠cos α，所以D项错误．故选AC． 11．(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在