第5章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

A－基础巩固题组 1．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为(　　) A．(2，0) B．(－3，6) C．(6，2) D．(－2，0) 解析：选A．设N(x，y)，则(x－5，y＋6)＝(－3，6)，解得x＝2，y＝0. 2．(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　) A．－2 B． C．1 D．－1 解析：选ABD．各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1).假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形． 3．(2023·陕西西安八校联考)已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，1)，c＝(5，4)，则以向量a与b为基底表示向量c的结果是(　　) A．a－b B．a－b C．－a－b D．a＋b 解析：选A．设c＝xa＋yb，则解得所以c＝a－b.故选A． 4．(多选)已知向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(1，1)，在下列各组向量中，可以作为平面内所有向量的一个基底的是(　　) A．a，c B．a，b－c C．c，a＋b D．a＋b，b－c 解析：选AD．对于A，假设a＝λc，则有显然不成立，故向量a，c不是共线向量，所以符合题意； 对于B，b－c＝(－1，0)，因为a＝－(b－c)，所以a，b－c是共线向量，因此不符合题意； 对于C，a＋b＝(1，1)，因为a＋b＝c，所以c，a＋b是共线向量，因此不符合题意； 对于D，a＋b＝(1，1)，b－c＝(－1，0)，假设a＋b＝μ(b－c)是共线向量，则有显然不成立，故向量a＋b，b－c不是共线向量，所以符合题意．故选AD． 5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC＝3DF，设＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b 解析：选B．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点，且DC＝3DF， ∴＝＝(－)＝(－)，＝－＝＋. 则＝＋＝(＋)＋(－)＝＋＝a＋b.故选B． 6．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D．以向量a和b的交点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)， 则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，∴a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3)， ∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，则解得 ∴＝＝4. 7．在△ABC中，O为△ABC的重心．若＝＋，则λ－2μ＝(　　) A．－ B．－1 C． D．－ 解析：选D．如图，延长BO交AC于点M，∵点O为△ABC的重心，∴M为AC的中点， ∴＝＝(＋)＝－＋＝－＋(－)＝－＋， 又知＝λ＋，∴λ＝－，μ＝，∴λ－2μ＝－－2×＝－，故选D． 8．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________. 解析：因为a∥b，所以2×4－5λ＝0，所以λ＝. 答案： 9．已知点A(8，－1)，B(1，－3)，若点C(2m－1，m＋2)在线段AB上，则实数m＝________. 解析：由题意，＝(－7，－2).因为点C在线段AB上，故与同向．又＝(2m－9，m＋3)，故＝，所以m＝－13. 答案：－13 10．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则＝________，＝________. 解析：＝－＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)， ＝＋＝＋2＝(4，3)＋2(－3，2)＝(－2，7)， ＝3＝3(－2，7)＝(－6，21). 答案：(－3，2)　(－6，21) B－能力拔高题组 11．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若E为AF的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D．以E为坐标原点，EF所在直线为x轴，ED所在直线为y轴，建立如图直角坐标系，设＝1，由E为AF的中点， ∴E，G，A，B，D，则＝，＝，＝， 由＝λ＋μ，得＝λ＋μ， ∴解得则λ＋μ＝. 12．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　) A． B． C．2 D．