第2章 第5节 指数与指数函数（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

A－基础巩固题组 1．(2023·洛阳第一次统考)函数f(x)＝·2x的图象大致形状是(　　) 解析：选B．由函数f(x)＝·2x＝可得函数在(0，＋∞)上单调递增，且此时函数值大于1；在 (－∞，0)上单调递减，且此时函数值大于－1 且小于零．结合所给的选项，只有B项满足条件，故选B． 2．已知函数f(x)＝则函数f(x)是(　　) A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增 B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减 C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减 解析：选C．易知f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x<0，则f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x>0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x).即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C． 3．已知a＝31.1，b＝41.1，c＝30.9，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c<a<b B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a 解析：选A．由题意，构造函数y＝3x，y＝x1.1，由指数函数和幂函数的性质，可知两个函数在(0，＋∞)上单调递增；∵0.9<1.1，∴30.9<31.1，∴c<a；∵3<4，∴31.1<41.1，∴a<b.综上，c<a<b. 4．(多选)已知实数a，b满足等式18a＝19b，下列选项有可能成立的是(　　) A．0<b<a B．a<b<0 C．0<a<b D．b<a<0 解析：选AB．实数a，b满足等式18a＝19b，即y＝18x在x＝a处的函数值和y＝19x在x＝b处的函数值相等，由下图可知A、B均有可能成立． 5．若2x2＋1≤()x－2，则函数y＝2x的值域是(　　) A．[，2) B．[，2] C．(－∞，) D．[2,＋∞) 解析：选B．∵()x－2＝(2－2)x－2＝2－2x＋4，∴2x2＋1≤2－2x＋4，即x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，∴－3≤x≤1，此时y＝2x的值域为[2－3，21]，即为[，2]. 6．计算：(2)0.5＋0.1－2＋(2)－3π0＋＝________. 解析：原式＝()＋＋()－3＋＝＋100＋－3＋＝100. 答案：100 7．若ea＋πb≥e－b＋π－a，则a与b的关系式为________. 解析：令f(x)＝ex－π－x，则f(x)在R上单调递增，因为ea＋πb≥e－b＋π－a，所以ea－π－a≥e－b－πb，则f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0. 答案：a＋b≥0 8．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为______________，f(－4)与f(1)的大小关系是________. 解析：因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故 f(1)＝f(－3)，f(－4)>f(1). 答案：(1，＋∞)　f(－4)>f(1) 9．已知函数f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R. (1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值； (2)若对任意的x∈[0,＋∞)都有f(x)>2－x成立，求实数k的取值范围． 解：(1)因为f(x)＝2x＋k·2－x是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，x∈R，即2－x＋k·2x＝－(2x＋k·2－x).所以(1＋k)＋(k＋1)·22x＝0对一切x∈R恒成立，所以k＝－1. (2)因为x∈[0，＋∞)时，均有f(x)>2－x，即2x＋k·2－x>2－x成立，所以1－k<22x对x≥0恒成立，所以1－k<(22x)min.因为y＝22x在[0，＋∞)上单调递增，因为(22x)min＝1.所以k>0.所以实数k的取值范围是(0，＋∞). 10．已知函数 f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24). (1)求f(x)的表达式； (2)若不等式()x＋()x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)因为f(x)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)，所以所以a2＝4，又a>0，所以a＝2，b＝3.所以f(x)＝3·2x. (2)由(1)知a＝2，b＝3.则当x∈(－∞，1]时，()x＋()x－m≥0恒成立，即m≤()x＋()x在x∈(－∞，1]上恒成立，又因为y＝()x与y＝()x均为减函数，所以y＝()x＋()x也是减函数，所以当x＝1时，y＝()x＋()x有最小值，则m≤，故m的取值范围是(－∞，]. B－能力拔高