第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

A－基础巩固题组 1．已知函数f(x)＝ln (2＋2x)＋ln (3－3x)，则f(x)(　　) A．是奇函数，且在(0，1)上单调递增 B．是奇函数，且在(0，1)上单调递减 C．是偶函数，且在(0，1)上单调递增 D．是偶函数，且在(0，1)上单调递减 解析：选D．对于f(x)＝ln (2＋2x)＋ln (3－3x)，有解得－1<x<1，所以f(x)的定义域为(－1，1)，关于原点对称．因为f(－x)＝ln (2－2x)＋ln (3＋3x)＝ln [2(1－x)]＋ln [3(1＋x)]＝ln 2＋ln (1－x)＋ln 3＋ln (1＋x)＝ln (3－3x)＋ln (2＋2x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．由对数运算性质知f(x)＝ln (2＋2x)＋ln (3－3x)＝ln [(2＋2x)(3－3x)]＝ln [6(1－x2)]＝ln 6＋ln (1－x2)(－1<x<1)，设u＝1－x2，y＝ln u，则u＝1－x2在(0，1)上单调递减，函数y＝ln u单调递增，由复合函数单调性可知函数f(x)在(0，1)上单调递减，故选D． 2．已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1，当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f(x＋)＝f(x－)，则f(6)等于(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 解析：选D．当x>时，f(x＋)＝f(x－)，即周期为1.则f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2.故选D． 3．(2023·江西赣州模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x).若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，－3) B．(3，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 解析：选D．∵f(x＋3)＝f(x).∴f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，f(7)＝f(7－9)＝f(－2).又∵函数f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2).∴f(7)＝f(2)>1，∴a>1，即a∈(1，＋∞).故选D． 4．(2023·江西宜春质量检测)若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)是偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝ln (x＋1)，则当2≤x≤3时，f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝ln (x－1) B．f(x)＝－ln (x－1) C．f(x)＝－ln (3－x) D．f(x)＝ln (3－x) 解析：选B．因为f(x＋1)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)＝f(2－x).因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以－f(－x)＝f(2－x)，所以f(x)＝－f(x－2).当2≤x≤3时，有0≤x－2≤1，所以f(x－2)＝ln (x－2＋1)＝ln (x－1)，所以f(x)＝－ln (x－1)，故选B． 5．(多选)已知函数f(x)，对∀x∈R，有f(－2－x)＝f(x)，且任取x1，x2∈[－1，＋∞)，<0(x1≠x2)，以下结论中正确的是(　　) A．f(0)>f(－3) B．∀x∈R，f(x)≤f(－1) C．f(a2－a＋1)≥f() D．若f(m)<f(2)，则－4<m<2 解析：选AB．根据题意，函数f(x)对∀x∈R，都有f(－2－x)＝f(x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又由任取x1，x2∈[－1，＋∞)，<0(x1≠x2)，则f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，－1]上单调递增；据此分析选项：对于A，f(－3)＝f(1)，则有f(0)>f(1)＝f(－3)，A正确；对于B，f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，在区间[－1，＋∞)上单调递减，故f(x)在x＝－1时，取得最大值，即有∀x∈R，f(x)≤f(－1)，B正确；对于C，f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递减，又由a2－a＋1＝＋≥，则f(a2－a＋1)≤f()，C错误；对于D，若f(m)<f(2)，则有|m＋1|>3，解得m<－4或m>2，D错误． 6．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f()＝0，则满足f(x)>0的x的集合为________________. 解析：由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，f()＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且f(－)＝0，所以f(x)>0时，x>或－<x<0.即满足f(x)>0的x的集合为{x}． 答案：{x} 7．写出一个同时满足下列要求的函数f(x)＝________. ①f(x1)f(x2)＝f(x1x2)； ②f′(x)是偶函数； ③∀x1，x2∈R，x1≠x2，(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0. 解析：f(x)可以为幂函数f