第1章 第4节 基本不等式及其应用（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

A－基础巩固题组 1．(2022·扬州高三联考)设x>0，则y＝3－3x－的最大值为(　　) A．3 B．3－3 C．3－2 D．－1 解析：选C．∵x>0，∴y＝3－3x－≤3－2＝3－2，当3x＝，即x＝时，等号成立．故选C． 2．(2023·山东师大附中期末)已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy的最小值为(　　) A．100 B．81 C．36 D．9 解析：选C．已知x>0，y>0，且＋＝1，所以＋≥2，即1≥2，故xy≥36，当且仅当即时等号成立，所以xy的最小值为36.故选C． 3．已知直线ax＋2by－1＝0和x2＋y2＝1相切，则ab的最大值是(　　) A． B． C． D．1 解析：选A．根据题意，圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，半径r＝1，若直线ax＋2by－1＝0和x2＋y2＝1相切，则有＝1，变形可得a2＋4b2＝1，又由1＝a2＋4b2≥4ab，变形可得ab≤，当且仅当a＝2b时等号成立，故ab的最大值是.故选A． 4．(多选)已知x>0，y>0，且2x＋y＝2，则下列说法中正确的是(　　) A．xy的最大值为 B．4x2＋y2的最大值为2 C．4x＋2y的最小值为4 D．＋的最小值为4 解析：选ACD．由2＝2x＋y≥2⇒xy≤，当2x＝y时等号成立，所以A正确； 4x2＋y2＝(2x＋y)2－4xy＝4－4xy≥2，所以4x2＋y2的最小值为2，故B不正确； 由2＝2x＋y，得4x＋2y＝4x＋22－2x＝4x＋≥4，当x＝时等号成立，故C正确； 由2＝2x＋y，得＋＝＋＝2＋＋≥4，当x＝y时等号成立，故D正确．故选ACD． 5．已知a，b是正实数，函数y＝4aex－2＋b的图象经过点(2，1)，则＋的最小值为(　　) A．3＋2 B．9 C．3－2 D．2 解析：选B．函数y＝4aex－2＋b的图象经过 点(2，1)，则1＝4ae2－2＋b，即4a＋b＝1. ∴＋＝(＋)·(4a＋b)＝(4＋1＋＋)≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a＝时取等号．故选B． 6．若log2m＋log2n＝1，那么m＋n的最小值是________. 解析：∵log2m＋log2n＝1，即log2mn＝1，∴mn＝2.由基本不等式可得m＋n≥2＝2，当且仅当m＝n时等号成立，故m＋n的最小值是2. 答案：2 7．写出一个关于a与b的等式，使＋是一个变量，且它的最小值为16, 则该等式为________. 解析：该等式可为a2＋b2＝1，下面证明该等式符合条件．＋＝(＋)(a2＋b2)＝1＋9＋＋≥10＋2＝16，当且仅当b2＝3a2时取等号，所以＋是一个变量，且它的最小值为16. 答案：a2＋b2＝1(答案不唯一) 8．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N* )，则该公司年平均利润的最大值是________万元． 解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－(x＋)，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元， 答案：8 9．(1)已知∈(0，)，求函数y＝x(1－2x)的最大值； (2)已知x>，求函数y＝2x＋的最小值． 解：(1)y＝x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤×()2＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时等号成立，故函数的最大值为. (2)∵x>，∴2x－1>0，∴y＝2x＋(2x－1)＋＋1≥2＋1＝5. 当且仅当2x－1＝，即x＝时等号成立，故函数的最小值为5. 10．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋45 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？ 解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为x＋－200≥2－200＝100，当且仅当x＝，即x＝300时等号成立，故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． (2)该单位能获利．设该单位每月获利为s元，则s＝200x－y＝－x2＋400x－45 000＝－(x－400)2＋35 000，因为x∈[300, 600]，所以s∈[15 000，35 000].故该单位每月获利，最大利润为35 000元． B－能力拔高题组 11．已知f(x)＝x3＋ax2＋(b－4)x(a>0