第1章 第3节 不等式的性质、一元二次不等式（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

A－基础巩固题组 1．(2023·广东珠海调研)已知a，b∈R，满足ab<0，a＋b>0，a>b，则(　　) A．< B．＋>0 C．a2>b2 D．a<|b| 解析：选C．因为ab<0，a>b，所以a>0，b<0，>0，<0，A不正确；<0，<0，则＋<0，B不正确；又a＋b>0，即a>－b>0，则a2>(－b)2，a2>b2，C正确；由a>－b>0得a>|b|，D不正确． 2．已知0<a<，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是(　　) A．M>N B．M<N C．M＝N D．不能确定 解析：选A．∵0<a<，∴1＋a>0，1＋b>0，1－ab>0，∴M－N＝＋＝>0，∴M>N. 3．(多选)设[x]表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为(　　) A． B．3 C．－4.5 D．－5 解析：选BC．因为不等式[x]2＋[x]－12≤0，所以([x]－3)([x]＋4)≤0，所以－4≤[x]≤3，又因为[x]表示不小于实数x的最小整数，所以不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为3，－4.5.故选BC． 4．在R上定义运算⊗： M⊗N＝(1＋M)(1－N).若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，1) B．(0，2) C．(－，) D．(－，) 解析：选B．因为(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x恒成立，所以(1＋x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，所以(1－a)2<1＋x2恒成立，所以只需(1－a)2<(1＋x2)min.又因为(1＋x2)min＝1，所以(1－a)2<1，解得0<a<2.故选B． 5．(2023·山东威海期末)关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是(－∞，＋∞)，则实数a的取值范围为(　　) A．[，＋∞) B．(－∞，] C．[－，] D．(－∞，－]∪[，＋∞) 解析：选A．不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是(－∞，＋∞)， 即对于∀x∈R，ax2－|x|＋2a≥0恒成立，即a≥. 当x＝0时，a≥0； 当x≠0时，a≥＝， 因为≤＝，当且仅当|x|＝时取“＝”，所以a≥. 综上所述，a∈[，＋∞). 6．不等式ax2＋x＋1>0的解集为(m，1)，则m＋a＝________. 解析：由不等式ax2＋x＋1>0的解集为(m，1)，得x＝1是方程ax2＋x＋1＝0的根，即a＋1＋1＝0，解得a＝－2，则不等式为－2x2＋x＋1>0，解得－<x<1，则有m＝－，则有m＋a＝－. 答案：－ 7．已知集合A＝{－5，－1，2，4，5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是________________. 解析：因为不等式(x＋4)(x－6)>0的解集为{x|x>6或x<－4}，解集中只有－5在集合A中． 答案：(x＋4)(x－6)>0(答案不唯一) 8．若关于x的不等式x2－2ax－8a2 <0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}，且x2－x1＝15，则a的值为________. 解析：由题知x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2＝0(a>0)的实数根，所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2>0，且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2. 又因为x2－x1＝15，所以152＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2， 又a>0，解得a＝. 答案： 9．设函数f(x)＝2x2＋bx＋c，若不等式f(x)<0的解集是(1，5). (1)求f(x)的解析式； (2)若对于任意x∈[1，3]，不等式f(x)≤2＋t有解，求实数t的取值范围． 解：(1)由题意知1和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－＝6，＝5，解得b＝－12，c＝10，所以f(x)＝2x2－12x＋10. (2)不等式f(x)≤2＋t在x∈[1，3]时有解，等价于2x2－12x＋8≤t在x∈[1，3]时有解，只要t≥(2x2－12x＋8)min即可，不妨设g(x)＝2x2－12x＋8，x∈[1，3]，则g(x)在[1，3]上单调递减，所以g(x)≥g(3)＝－10，所以t≥－10. 10．设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围； (2)解不等式f(x)<(m＋1)x－3. 解：(1)要使mx2－mx－1<0恒成立， 若m＝0，显然－1<0. 若m≠0，则解得－4<m<0. 综上，－4<m≤0，即m的取值范围为(－4，0]. (2)由f(x)<(m＋1)x－3得(mx－1)(x－2)<0.当m＝0时，原不等式为－(x－2)<0，解得x>2； 当m<0时，解得x<或x>2