第9章 第2节 用样本估计总体（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

第2节 用样本估计总体 ► 对应学生用书P202 [课标解读]　1.能用频率分布直方图对数据进行可视化描述．　2.会用统计图表对总体进行估计.3.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．制作频率分布表、画频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)； (2)决定组距与组数，组数＝； (3)将数据分组； (4)列频率分布表，＝频率； (5)画频率分布直方图． 2．频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图． (2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线． 3．总体集中趋势的估计 数字特征 概念 优点与缺点 众数 一组数据中出现次数最多的数 众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数，但显然它对其他数据信息的忽视使它无法客观地反映总体特征 中位数 把一组数据按从小到大顺序排列，处在中间位置的一个数据(或两个数据的平均数) 中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 平均数 如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的平均数＝ 平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低 4.总体百分位数的估计 (1)第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． (2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 5．总体离散程度的估计 (1)假设一组数据是x1，x2，…xn，用表示这组数据的平均数，那么这n个数的 ①标准差 s＝ ②方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋(x3－)2＋…＋(xn－)2]. (2)分层抽样的均值与方差 分层抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为，样本方差为s2. 以分两层抽样的情况为例．假设第一层有m个数分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为s.则＝xi，s＝ (xi－)2，＝yi，s＝(yi－)2. 则①＝＋； ②s2＝{m[s＋(－)2]＋n[s＋(－)2]}. [必记结论] 1．频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的． (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 2．简单随机抽样样本平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a. (2)数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变. (3)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2. 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近．(　　) (2)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．(　　) (3)方差与标准差具有相同的单位．(　　) (4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(必修一·P245例9改编)某机构调查了解10种食品的卡路里含量，结果如下：107，135，138，140，146，175，179，182，191，195.则这组数据的第25百分位数和中位数分别是(　　) A．138，160.5 B．138，146 C．138，175 D．135，160.5 解析：选A．将10个数按从小到大排列：107，135，138，140，146，175，179，182，191，195，而10×25%＝2.5，为第3项138；中位数为＝160.5. 3．设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为(　　)