第7章 第6节 第2课时 向量法求解翻折、探索性、最值问题（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

第2课时　向量法求解翻折、探索性、最值问题 考点1　平面图形中的翻折问题 【典例引领】 [例1] 如图，在四边形PDCB中，PD∥BC，BA⊥PD，PA＝AB＝BC＝1，AD＝.沿BA将△PAB翻折到△SBA的位置，使得SD＝. (1)作出平面SCD与平面SBA的交线l，并证明l⊥平面CSB； (2)点Q是棱SC上异于S，C的一点，连接QD，当二面角Q­BD­C的余弦值为，求此时三棱锥Q­BCD的体积． [思维点拨]　(1)延长BA，CD相交于E，连接SE，由勾股定理可得SA⊥AD，结合AD⊥AB可得AD⊥平面SAB，再判断出SE⊥平面CSB即可证明；(2)以点A为坐标原点建系，设＝λ，由二面角Q­BD­C的余弦值为建立向量关系，求出λ即可进一步确定体积． 解：(1)证明：如图，延长BA，CD相交于E，连接SE， 则SE为平面SCD与平面SBA的交线l. 在△SAD中，SA＝1，AD＝，SD＝，则SA2＋AD2＝SD2，所以SA⊥AD. 由SA⊥AD，AD⊥AB，SA∩AB＝A，得AD⊥平面SAB. 又BC∥AD，所以BC⊥平面SAB，所以BC⊥SE. 由PD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝，得AE＝1. 所以AE＝AB＝SA，所以SE⊥SB. 又因为BC∩SB＝B，所以SE⊥平面CSB，即l⊥平面CSB. (2)由(1)知，SA⊥AB，AD⊥AB，AD⊥SA.以点A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 易得A，D，B，S，C，则＝. 设＝λ(0<λ<1)，则Q，则＝. 设n＝是平面QBD的一个法向量，则 即 令x＝2，则n＝. m＝是平面CBD的一个法向量． 由＝＝＝，解得λ＝. 所以点Q是SC的中点． 所以VQ­BDC＝×S△BDC×＝××＝. 【思维升华】　翻折问题的2个解题策略 1.确定翻折前后变与不变的关系 一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决 2.确定翻折后关键点的位置 翻折过程中运动变化的点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的位置关系与数量关系发生变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算 【考点集训】 1．(2023·广东深圳六校联考)如图1，四边形PBCD是等腰梯形，BC∥PD，PB＝BC＝CD＝2，PD＝4，A为PD的中点，将△ABP沿AB折起，如图2，点M是棱PD上的点． (1)若M为PD的中点，证明：平面PCD⊥平面ABM； (2)若PC＝，试确定M的位置，使二面角M­AB­D的余弦值等于. 解：(1)证明：由题意，AD＝BC，且AD∥BC，故四边形ABCD是平行四边形，又PB＝BC＝CD＝2，PD＝4， ∴△PBA是正三角形，四边形ABCD是菱形， 取AB的中点E，连接PE，CE，易知△ABC是正三角形，则AB⊥PE，AB⊥EC， 又PE∩EC＝E，∴AB⊥平面PEC，∴AB⊥PC， 取PC的中点N，连接MN，BN，则MN∥CD∥AB，即A，B，N，M四点共面， 又PB＝BC＝2，则BN⊥PC，又AB∩BN＝B，∴PC⊥平面ABM， 又PC在平面PCD内，∴平面PCD⊥平面ABM； (2)∵PE＝CE＝2×＝，PC＝，所以PE2＋CE2＝PC2，∴PE⊥EC， 又AB⊥PE且AB⊥EC，则以E为原点，以EB，EC，EP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则A(－1，0，0)，B(1，0，0)，D(－2，，0)，P(0，0，)， 设＝λ(λ>0)，则(xM＋2，yM－，zM)＝λ(－xM，－yM，－zM)， 则得 则M， 易知平面ABD的一个法向量为＝(0，0，)， 设平面MAB的一个法向量为m＝(x，y，z)， 又＝(2，0，0)，＝， ∴ 得x＝0，取z＝1，得y＝－λ，所以m＝(0，－λ，1)， 所以＝＝＝， 解得λ＝2，故DM＝2MP. 考点2　空间几何体中的探索性问题 【典例引领】 　与线面角有关的探索性问题 [例2] 如图，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，∠A＝45°，AD＝4BC＝4，AB＝，现沿CN将△CDN折起，使△ADN为正三角形，且平面ADN⊥平面ABCN，过BM的平面与线段DN、DC分别交于E、F. (1)求证：EF⊥DA； (2)在棱DN上(不含端点)是否存在点E，使得直线DB与平面BMEF所成角的正弦值为，若存在，请确定E点的位置；若不存在，说明理由． [思维点拨]　(1)根据题意证明BM∥平面CDN，依据线面平行性质定理以及面面垂直性质定理可得EF⊥平面ADN，从而得证． (2)建立空间直角坐标系，假