第6章 第4节 数列求和（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

第4节 数列求和 ► 对应学生用书P124 [课标解读]　1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．　2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法．　3.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 数列求和的常用方法 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和． (1)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d． (2)等比数列的前n项和公式 Sn＝ 2．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中，与首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的． 3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法求解，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． 4．裂项相消法 (1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ①＝ － . ②＝ . ③＝ . ④＝ － . ⑤loga＝loga(n＋1)－logan(n>0)． 5．分组转化求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． 6．并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 【小题热身】 1．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(　　) A．＋ B．＋ C．＋ D．n2＋n 解析：选A．由题意设等差数列 的公差为d，则a1＝2，a3＝2＋2d，a6＝2＋5d. 又∵a1，a3，a6成等比数列，∴a＝a1a6，即(2＋2d)2＝2(2＋5d)，整理得2d2－d＝0. ∵d≠0，∴d＝，∴Sn＝na1＋ d＝＋ . 2．数列{an}的前n项和为Sn.若an＝，则S5等于(　　) A．1 B． C． D． 解析：选B．因为an＝＝ －， 所以S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋ －＋…＋ －＝ . 3．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　) A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2 解析：选C．Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1) ＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n＝＋2×－n ＝2(2n－1)＋n2＋n－n＝2n＋1＋n2－2. 4．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝________. 解析：S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9. 答案：9 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　分组转化求和 【典例引领】 [例1] (2023·山东青岛模拟)已知 为等差数列，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数都不在下表的同一列． 第一列 第二列 第三列 第一行 第二行 4 6 9 第三行 12 8 7 请从①a1＝2，②a1＝1，③ a1＝3的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列 存在；并在此存在的数列 中，试解答下列两个问题． (1)求数列 的通项公式； (2)设数列 满足bn＝(－1)n＋1a，求数列 的前n项和Tn. 解：(1)若选择条件①，当第一行第一列为a1时，由题意知，可能的组合有a1＝2，a2＝6，a3＝7不是等差数列，a1＝2，a2＝9，a3＝8不是等差数列； 当第一行第二列为a1时，由题意知，可能的组合有a1＝2，a2＝4，a3＝7不是等差数列，a1＝2，a2＝9，a3＝12不是等差数列； 当第一行第三列为a1时，由题意知，可能的组合有a1＝2，a2＝4，a3＝8不是等差数列，a1＝2，a2＝6，a3＝12不是等差数列，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列 都不存在． 若选择条件②，则放在第一行第二列，结合条件可知a1＝1，a2＝4，a3＝7，则公差d＝a2－a1＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－2，n∈N*. 若选择条件③，当第一行第一列为a1时，由题意知，可能的组合有a1＝3，a2＝6，a3＝7不是等差数列，a1＝3，a2＝9，a3＝8不是等差数列； 当第一行第二列为a1时，