第6章 第3节 等比数列（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

第3节 等比数列 ► 对应学生用书P119 [课标解读]　1.理解等比数列的概念和通项公式的意义．　2.掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．　3.体会等比数列与指数函数的关系． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)，定义的表达式为＝q(n∈N*). 2．等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项．此时，G2＝ab. [提醒]　只有当两个数同号时，这两数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数. 3．通项公式 an＝a1qn－1(n∈N*). 4．前n项和公式 Sn＝ 5．等比数列的性质 (1)an＝am·qn－m(m，n∈N*). (2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a. (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． (4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn. (5){an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． [必记结论] 1．三个数成等比数列，通常设为，x，xq； 2．四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3. 3．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn(c≠0，q≠0). 4．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，0) 【小题热身】 1．已知等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值为(　　) A．12 B．－ C．1或－ D．－1或 解析：选C．若q＝1，因为a3＝7，所以S3＝3×7＝21，符合题意；若q≠1，则 解得q＝－ . 所以公比q的值为1或－，故选C． 2．已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝(　　) A．32 B．64 C．128 D．256 解析：选C．∵a2·a4＝a＝16，∴a3＝4(负值舍去)，① 又S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋a3＝7，② 联立①②，得3q2－4q－4＝0，解得q＝－或q＝2， ∵an>0，∴q＝2，∴a8＝a3·q5＝27＝128. 3．(选择性必修二·P33习题1.3T14改编)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝(　　) A．2 B． C． D．1或2 解析：选B．设S2＝k(k≠0)，S4＝3k，∵数列{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，又S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝＝，故选B． 4．各项均为正数的等比数列{an}，其公比q≠1，且a3·a7＝4，请写出一个符合条件的通项公式an＝________. 解析：因为{an}为正项的等比数列，所以a3·a7＝a＝4，所以a5＝2，又q≠1，不妨令q＝2，所以an＝a1qn－1＝a5qn－5＝2×2n－5＝2n－4. 答案：2n－4(答案不唯一) 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　等比数列基本量的运算 【典例引领】 [例1](1) 已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　) A．16 B．8 C．4 D．2 解析：选C．设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1，得q4＝3q2＋4，得q2＝4.因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2.又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4. (2) (一题多法)(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　) A．2n－1 B．2－21－n C．2－2n－1 D．21－n－1 解析：选B．法一　设等比数列{an}的公比为q，则解得所以Sn＝＝2n－1，an＝a1qn－1＝2n－1，所以＝＝2－21－n，故选B． 法二　设等比数列{an}的公比为q，因为＝＝＝＝2，所以q＝2，所以＝＝＝2－21－n，故选B． 【思维升华】　(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解； (2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论， 当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1； 当q