第6章 第2节 等差数列（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

第2节 等差数列 ► 对应学生用书P115 [课标解读]　1.理解等差数列的概念和通项公式的意义．　2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．　3.体会等差数列与一元一次函数的关系． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示，符号表示为an－an－1＝d，n∈N*且n≥2，d为常数． 2．等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫作a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b． 3．通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d). 当d≠0时，an是关于n的一次函数模型． 4．前n项和公式 Sn＝＝na1＋d＝n2＋n. 5．等差数列的性质 已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和． (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)； (2)在等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*).特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)； (3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)； (4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d； (5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列； (6)若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的； (7)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝； (8)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝. [必记结论] 1．在公差为d的等差数列{an}中： (1)d＞0⇔{an}为递增数列； (2)d＝0⇔{an}为常数列； (3)d<0⇔{an}为递减数列． 2．在等差数列{an}中，从第二项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即{an}成等差数列⇔an＋1＋an－1＝2an(n≥2). 3．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数). 4．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． 【小题热身】 1．思考辨析(请在括号中打“√”或“×”) (1)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　) (2)等差数列的前n项和公式是常数项为0且关于n的二次函数．(　　) (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　) (4)数列{2n＋1}(n∈N*)是等差数列．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(2022·福建福州质检)在等差数列{an}中，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，则a5＋a6＝(　　) A．10 B．20 C．25 D．30 解析：选C．在等差数列{an}中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d，若a1＋a2＝5，a3＋a4＝15，则d＝15－5＝10，因此a5＋a6＝(a3＋a4)＋d＝15＋10＝25. 3．已知{an}是等差数列，满足3(a1＋a5)＋2(a3＋a6＋a9)＝18，则该数列的前8项和为(　　) A．36 B．24 C．16 D．12 解析：选D．由等差数列性质可得a1＋a5＝2a3，a3＋a6＋a9＝3a6，所以3×2a3＋2×3a6＝18，即a3＋a6＝3，所以S8＝＝＝12. 4．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________. 解析：由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180. 答案：180 5．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝2，且S6＝30，则S9＝________. 解析：由已知可得解得∴S9＝9a1＋d＝－90＋36×6＝126. 答案：126 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　等差数列基本量的运算 【考点集训】 1．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2＝15，S5＝65，则a1＋a4＝(　　) A．24 B．26 C．28 D．30 解析：选C．设等差数列{an}的公差为d，则由题意得解得所以a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝17＋17－6＝28. 2．(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________. 解析：设等差数列{an}的公差为d，则