第6章 第1节 数列的概念（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

第六章　数　列 第1节 数列的概念 ► 对应学生用书P112 [课标解读]　通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．数列的定义 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法． 2．数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N* 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的通项公式． 4．数列的递推公式 (1)如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的递推公式． (2)数列{an}的前n项和Sn 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an． [必记结论] 1．在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 2．若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　　) (2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列．(　　) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　　) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(多选)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是(　　) A．an＝(－1)n－1＋1 B．an＝ C．an＝2sin D．an＝cos (n－1)π＋1 解析：选ABD．对n＝1，2，3，4进行验证，an＝2sin 不合题意，其他都可能． 3．(选择性必修一·P4例1改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D．a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝. 4．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　) A．15 B．16 C．49 D．64 解析：选A．因为Sn＝n2，所以a1＝S1＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1. 当n＝1时符合上式， 所以an＝2n－1，所以a8＝2×8－1＝15. 5．(选择性必修一·P8例6改编)已知an＝2n＋a(1－n).若数列{an}是递减数列，则实数a的取值范围是________. 解析：∵an＝2n＋a(1－n)，∴an＝(2－a)n＋a， ∵数列{an}是递减数列，∴2－a<0，解得a>2. 答案：(2，＋∞) 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　由an与Sn的关系求通项公式 【典例引领】 [例1](1) 设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝(　　) A．2n B．2n－1 C．2n D．2n－1 解析：选C．当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，∴数列{an}为等比数列，公比为2，首项为2，∴通项公式为an＝2n.故选C． (2) (2023·衡水检测)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＋1－Sn＝1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为_______________. 解析：因为an＋1－Sn＝1，所以Sn＋1－2Sn＝1, Sn＋1＝2Sn＋1，所以Sn＋1＋1＝2(Sn＋1).因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以Sn＋1＝2n，即Sn＝2n－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也满足此式，所以an＝2n－1，n∈N*. 答案：an＝2n－1，n∈N* 【思维升华】 　1.求解Sn与an关系的两种思路 (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． (2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 2．已知Sn求an的一般步骤 (1)当n＝1时，由a1＝S1求a1的值； (2)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式；