第5章 第4节 复数（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

第4节 复数 ► 对应学生用书P108 [课标解读]　1.复数的概念：通过方程的解，认识复数；理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．　2.复数的运算：掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．复数的有关概念 (1)定义：把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中i叫作虚数单位．复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫作复数的代数形式，其中a叫作复数z的实部，b叫作复数z的虚部． (2)全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫作复数集． (3)复数相等 a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等当且仅当a＝c且b＝d，即两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等． 特别地，a，b∈R, a＋bi＝0⇒a＝0，b＝0． (4)复数的模 向量的模叫作复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝． 如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(a的绝对值). (5)共轭复数 实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫作互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数． [提醒]　(1)判定一个复数是不是实数，仅注意虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义． (2)注意复数和虚数是包含关系，不能把复数等同为虚数，如虚数不能比较大小，但两个复数都为实数时，则可以比较大小． (3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立. 2．复数的分类 对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫作虚数；当a＝0且b≠0时，叫作纯虚数．即复数z＝a＋bi(a，b∈R) 3．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)有序实数对(a，b)复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义． (2)复数z＝a＋bi平面向量，这是复数的另一种几何意义． 4．复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0). (2)几何意义：复数的加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2， ＝＋， ＝－. (3)复数加法的运算定律 设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律 ①交换律：z1＋z2＝z2＋z1． ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． [必记结论] 1．(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i. 2．－b＋ai＝i(a＋bi). 3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*). 4．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n. 5．复数z的方程在复平面上表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆． 【小题热身】 1．(2021·北京高考)在复平面内，复数z满足(1－i)z＝2，则z＝(　　) A．2＋i B．2－i C．1－i D．1＋i 解析：选D．由题意可得z＝＝＝＝1＋i. 2．(必修二·P101例2改编)若a∈R，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则(　　) A．a≠2且a≠－1 B．a＝0 C．a＝2 D．a＝0或a＝2 解析：选B．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则解得a＝0. 3．若复数z＝(i为复数单位)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1，1) B．(－1，0) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1) 解析：选D．z＝＝＝＋i，由复数在复平面内对应的点在第三象限，得解得即m<－1，故选D． 4．(必修二·P107例3改编)若复数z＝，则＝(　　) A． B．2 C． D． 解析：选D．z＝＝＝＝2＋i，|z|＝＝ . 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　复数的相关概念 【典例引领】 [例1](1) 若复数z满足z＝－3＋i(i