第5章 第3节 平面向量的数量积及其应用（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

第3节 平面向量的数量积及其应用 ► 对应学生用书P104 [课标解读]　1.会计算平面向量的数量积，了解平面向量投影的概念及投影向量的意义．　2.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，能用坐标表示平面向量的数量积、平面向量垂直的条件，会表示两个平面向量的夹角．　3.会用向量方法解决简单的实际问题． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a与b的夹角，记作〈a，b〉． (2)特例：①当θ＝0时，向量a与b同向； ②当θ＝时，向量a与b垂直，记作a⊥b； ③当θ＝π时，向量a与b反向． 2．向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫作向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ． 规定零向量与任一向量的数量积为0． 3．投影向量 (1)设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫作向量a在向量b上的投影向量． (2)如图所示，若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则＝|a|cos θe． [提醒]　当θ＝0时，＝|a|e；当θ＝时，＝0；当θ∈时，与b方向相同；当θ∈时，与b方向相反；当θ＝π时，＝－|a|e .4.向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a. (2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb). (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 5．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 数量积 |a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的 充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 a∥b的 充要条件 a＝λb x1 y2－x2y1＝0 |a·b|与|a||b| 的关系 |a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ [必记结论] 1．有关向量夹角的两个结论： (1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立). (2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立(因为a与b夹角为π时不成立). 2．平面向量数量积运算的常用公式： (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. (3)(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b 【小题热身】 1．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，向量与的夹角为(　　) A． B． C． D． 解析：选B．因为正八边形的内角和为π＝6π， 所以与的夹角为π－∠A6A7A8＝π－＝. 2．在边长为3的等边三角形ABC中，＝，则·＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B．∵＝，∴＝，∴·＝·＝||||cos ＝×3×3×＝. 3．(必修二·P37例4改编)向量a＝，b＝，若a⊥b，则＝(　　) A． B．2 C．5 D．5 解析：选C．向量a＝，b＝，a⊥b， 则a·b＝0，即－2＋2k＝0 ∴k＝1，即3a＋b＝(1，7)， ∴＝＝＝5. 4．(多选)如果平面向量a＝(2，－4)，b＝(－6，12)，那么下列结论中正确的是(　　) A．|b|＝3|a| B．a∥b C．a与b的夹角为30° D．a在b方向上的投影为2 解析：选AB．因为a＝(2，－4)，b＝(－6，12)，所以b＝－3a. 在A中，由b＝－3a，可得|b|＝3|a|，故A正确； 在B中，由b＝－3a，可得a∥b，故B正确； 在C中，由b＝－3a，可得a与b的夹角为180°，故C错误； 在D中，a在b方向上的投影为＝＝－2，故D错误． 5．(必修二·P33例2改编)已知向量a，b满足3|a|＝2|b|＝6，且(a－2b)⊥(2a＋b)，则a，b夹角的余弦值为________. 解析：设a，b的夹角为θ，依题意，(a－2b)·(2a＋b)＝0，则2a2－3a·b－2b2＝0， 故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0，则cos θ＝－. 答案：－ 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　平面向量的数量积运算 【考点集训】 1．(2021·北京高考)a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，则(a＋b)·c＝__________；a·b