第5章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

第2节 平面向量的基本定理及坐标表示 ► 对应学生用书P101 [课标解读]　1.理解平面向量的基本定理及其意义．　2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．　3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算，能用坐标表示平面向量共线的条件． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．平面向量基本定理 设e1，e2是平面上两个不共线向量，则 (1)平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即v＝xe1＋ye2，其中x，y是实数. (2)实数x，y由v＝xe1＋ye2唯一决定．也就是：如果v＝xe1＋ye2v＝x’e1＋y’e2，则x=x’，y=y’. 我们称不共线向量e1，e2组成平面上的一组基{e1，e2}，分解式v＝xe1＋ye2中的系数x，y组成的有序数组（x，y），称为v在这组基下的坐标. 取定了平面上一组基{e1，e2}之后，可以将平面上每个向量v用它在这组基下的坐标来表示，记为v＝（x，y）. 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)， |a|＝． (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0． [必记结论] 1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. 2．A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)＝(x3－x1)(y2－y1)，或(x2－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)，或(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y3－y1). 3．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为(，). 【小题热身】 1．(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是(　　) A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7) C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D．e1＝(2，3)，e2＝ 解析：选BD．A项因为e1是零向量；C项e2＝2e1，e1与e2共线；故选BD． 2．(必修二·P27例7改编)若P1(1，3)，P2(4，0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为(　　) A．(2，2) B．(3，－1) C．(2，2)或(3，－1) D．(2，2)或(3，1) 解析：选A．设P(x，y)，由题意知＝， ∴(x－1，y－3)＝(4－1，0－3)＝(1，－1)， 即∴ 3．若向量＝，＝，则＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C．由题意知，向量＝，可得＝， 又由向量＝，可得＝＋＝(5，6)＋(－2，－3)＝(3，3). 4．(必修二·P28例8改编)已知向量a＝(x，1)，b＝(2，x－1)，若(2a－b)∥a，则x为________. 解析：2a－b＝(2x－2，3－x)， ∵(2a－b)∥a， ∴2x－2＝x(3－x)， 即x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1. 答案：2或－1 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　平面向量的坐标运算 【考点集训】 1．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于(　　) A． B． C． D． 解析：选D．∵a－2b＋3c＝0， ∴c＝－(a－2b). ∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13，4)， ∴c＝－(a－2b)＝. 2．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　) A． B． C．(3，2) D．(1，3) 解析：选A．设D(x，y)，则＝(x，y－2)，＝(4，3)， 又＝2，所以解得 所以顶点D的坐标为. 3．(2022·福州模拟)已知在平行四边形ABCD 中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　) A．(－，5) B．(，5) C．(－，－5) D．(，－5) 解析：选C．因为在平行四边形ABCD 中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，所以＝－＝－(＋)＝(－，－5).故选C． 4．已知A，B，C，且＋＋＝0，则点G的坐标为__________. 解析：设G，因为A，B，C， 则＝，＝，＝， 又＋＋＝0，所以解得 所以点G的坐标为. 答案： 考点2　平面