第5章 第1节 平面向量的概念及线性运算（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

第五章　平面向量、复数 第1节 平面向量的概念及线性运算 ► 对应学生用书P098 [课标解读]　1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．　2.理解平面向量的几何表示和基本要素．　3.掌握平面向量加、减、数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义，了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．　 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量与数量 把既有大小又有方向的量叫作向量；把只有大小没有方向的量称为数量 平面向量是自由向量 有向线段 具有方向的线段叫作有向线段 以A为起点、B为终点的有向线段记作 向量的模 向量的大小称为向量的长度(或称模) 记作|| 零向量 长度为0的向量 记作0，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫作共线向量), 向量a与向量b平行，记作a∥b 规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量，向量a与向量b相等，记作a＝b 相等向量一定是平行向量，反之不一定 [提醒]　(1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向． (2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0. (3)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ a； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. [必记结论] 1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋). 2．若＝λ＋μ (λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 3．在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论： (1) ＋＋＝0； (2) ＝(＋)； (3) ＝(＋)＝(＋). 4．对于任意两个向量a，b，都有：①||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；②|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2).当a，b不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若a与b都是单位向量，则a＝b．(　　) (2)直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量．(　　) (3)若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合．(　　) (4)海拔、温度、角度都不是向量．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．设a，b是两个非零向量，下列四个条件中，使＝ 成立的充分条件是(　　) A．＝ 且a∥b B．a＝－b C．a∥b D．a＝4b 解析：选D． 表示与a同向的单位向量， 表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有＝，观察选项易知D满足题意． 3．(2023·湖南长沙一中期中)如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则＝(　　) A．－ ＋ B．－ ＋ C．－ ＋ D．－ ＋ 解析：选A．因为E是线段AD的靠近A的三等分点，所以＝ ， 又D是线段BC的中点，所以＝ ， 所以＝＋＝－＋ ＝－＋ (＋)＝－ ＋ . 4．若菱形ABCD的边长为2，则| －＋ |＝________. 解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2. 答案：2 5．(必修二·P15例2改编)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________. 解析：因为a＋λb与－(b－2a)共线，所以＝，即λ＝－. 答案：－ 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　平面向量的概念 【考点集训】 1．给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零． ④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中错误命题的个数为(　　) A．1 B．2 C