第2章 第4节 幂函数与二次函数（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

第4节 幂函数与二次函数 ► 对应学生用书P024 [课标解读]　1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数．　2.掌握二次函数的图象和性质，能利用二次函数方程、不等式之间的关系解决简单问题． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫作幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 性 质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 (－∞，0]上单调递减； (0，＋∞)上单调递增 R上单调递增 [0，＋∞)上单调递增 (－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1，1) 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 3．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在x∈上单调递减； 在x∈上单调递增 在x∈上单调递增； 在x∈上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 [必记结论] 1．幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的重要结论 (1)当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增． (2)当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减． (3)当x∈(0，1)时，α越大，函数值越小，当x∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大． 2．二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，闭区间为[m，n]； (1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)； (2)当m<－≤时，最小值为f(－)，最大值为f(n)； (3)当<－≤n时，最小值为f(－)，最大值为f(m)； (4)当－>n时，最小值为f(n)，最大值为f(m). 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝3x时幂函数．(　　) (2)当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是减函数．(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点可以确定函数的解析式．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[m，n])的最值一定是.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(必修一·PP101例9)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点(，)，则k＋α＝(　　) A． B．1 C． D．2 解析：选C．由题意得＝k·()α.因为f(x)为幂函数，所以k＝1，解得α＝，∴k＋α＝. 3．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是(　　) A．[3，＋∞) B．(－∞，3] C．(－∞，－3) D．(－∞，－3] 解析：选D．函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D． 4．已知函数f(x)＝－2x2＋mx＋3(0≤m≤4，0≤x≤1)的最大值为4，则m的值为________. 解析：对称轴为x＝，∵0≤m≤4，∴0≤≤1.∴f()＝4，解得m＝2. 答案：2 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　幂函数的图象和性质 【考点集训】 1．(2022·青岛模拟)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m C．－1<m<0<n D．－1<n<0<m<1 解析：选D．对于幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且 0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，∴－1<n<0，综上所示，故选D． 2．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为(　　) A．m＝2 B．m＝－1 C．m＝－1或m＝2 D．m≠ 解析：选A．因为函数y＝(m2－m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以解得m＝2. 3