第1章 创新拓展系列(一) 柯西不等式（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

创新拓展系列(一)·柯西不等式 柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西（Cauchy，1789-1857）发现的，故命名为柯西不等式．柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果． 1．(柯西不等式的代数形式)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 推广一般情形：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 (当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立). 2．(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时等号成立． 3．(柯西不等式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3为任意实数，则： ＋≥. 题型一　利用柯西不等式求最值 [例1] (1)已知x>0，y>0，＋y2＝1，则x＋y的最大值是______. 解析：由柯西不等式得≥＝， 所以1×2≥，当＝y，即x＝，y＝时等号成立． 所以＋y≤，即x＋y的最大值是2. 答案：2 (2) 已知x，y满足x＋3y＝4，则4x2＋y2的最小值为________. 解析：(x＋3y)2≤(4x2＋y2)， 所以4x2＋y2≥16×＝， 当且仅当y＝12x时，等号成立， 所以4x2＋y2的最小值为. 答案： (3) 函数y＝2＋的最大值为______. 解析：∵y＝2＋＝＋＋≤· ＝， 当且仅当＝，即x＝时等号成立，∴函数y的最大值为. 答案： 题型二　利用柯西不等式证明不等式 [例2] 已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1＋a2b2)·≥(a1＋a2)2. 证明：(a1b1＋a2b2)＝[()2＋()2][()2＋()2] ≥(·＋·)2＝(a1＋a2)2. 当且仅当b1＝b2时，等号成立． [例3] 已知a1，a2，…，an都是实数，求证：(a1＋a2＋…＋an)2≤a＋a＋…＋a. 证明：根据柯西不等式，有(a＋a＋…＋a)≥(1×a1＋1×a2＋…＋1×an)2， 所以(a1＋a2＋…＋an)2≤a＋a＋…＋a. 【思维升华】　利用柯西不等式求最值和证明不等式，关键是将条件转化为柯西不等式的结构形式． 【创新集训】 1．函数y＝2＋的最大值为______. 解析：由题意，函数y＝2＋＝×＋1· ≤·＝×＝3， 当且仅当·1＝·取等号，即2－2x＝4x＋2，即x＝0时取等号， 所以函数的最大值为3. 答案：3 2．已知3x2＋2y2＝6，则2x＋y的最大值为______. 解析：令a1＝x，a2＝y，b1＝，b2＝ 代入柯西不等式(a1b1＋a2b2)2≤(a＋a)(b＋b)， ∴(2x＋y)2≤(3x2＋2y2)≤6×＝11， ∴－≤2x＋y≤， ∴2x＋y的最大值为. 答案： 3．已知ai>0，且a1＋a3＝1，a2＋a5＝2，a4＋a6＝3，证明： (1)≥7＋2. (2)＋＋<7. 解：(1)因为a1＋a3＝1， 所以(2＋)(1＋)＝(2＋)(1＋)＝ ＝7＋＋≥7＋2＝7＋2. 当且仅当＝，即a1＝－2，a3＝3－时取等号． (2)由柯西不等式得： (1＋2＋3) ≥[＋＋]2， 所以＋＋≤ ＝＝， 当且仅当＝＝时，取等号． ＋＋≤<7. 学科网（北京）股份有限公司 $