第3章 重难突破系列(一) 利用导数解决不等式恒成立、有解问题（PPT课件）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

2024版数学（湘教） 第三章一 元函数的导数及其应用 重难突破系列（一） 利用导数 解决不等式恒成立、有解问题 不等式恒成立问题和有解问题一般可通过分类讨论、分离参数、构造函数、数形结 合等方法来处理， 技法1分离参数法求参数范围 [例1]已知函数fx)=are-(a+1)(2x一1). (1)若a=1,求函数fx)的图象在点(0，f(0)处的切线方程： (2)当x>0时，函数fx)≥0恒成立，求实数a的取值范围. 思路揭秘：解决本题第(2)问可分离参数α，再根据表达式转化为最值问题求解.构 造函数后要注意判断其单调性 规范演示：(1)若a=1,则fx)=xe'-2(2x-1). 即f'(x)=xe+e-4,… …1分 则f(0)=一3，f(0)=2,… 2分 所以所求切线方程为3x十y一2=0.… 4分 2)由0)≥0，得a产。0，则≥0障碍点：不能托。十1看微整体，分离出未 对任意的0恒成立可转化为a十1≥e+对 对任意的x>0恒成立.…6分 2x-1 设函数F(=xe(>0), …7分 则Fx)= (2x+1)x-1) re" 易错点：导数运算 新学 当0<x<1时，F'(x)>0；当x>1时，Fx)K0, 所以函数F(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减，…10分 所以FK=F)-。 障碍点：不能确定Fx)max=F(I) 于是十1。郎得a产。故实裁a的取值花回。十四…12分 【点拨】利用分离参数法确定不等式fx,)≥0x∈D,入为参数)恒成立问题中参 数范围的步骤： (1)将参数与变量分离，化为f()≥f2(x)或f()f2(x)的形式； (2)求fx)在x∈D时的最大值或最小值； (3)解不等式fi()f2(x)max或f1(2)f2x)mi,得到2的取值范围. 新学 [对点练]1.已知曲线fx)=be+x在x=0处的切线方程为ax一y+1=0. (1)求a,b的值： (2)当x2>x1>0时，fx1)一fx2)x1一x2)(mx1十mx2十1)恒成立，求实数m的取值范围. 解：(1)由fx)=be+x得，f'x)=be+1, 由题意得在x=0处的切线斜率为f'(0)=b十1=a, 即b+1=a,又f(0)=b,可得-b+1=0,解得b=1,a=2 (2)由(1)知，fx)=e+x,所以f)-fx2)下c1一x2)(mx1+mx2+1), 即为fx1）-m-x1fx2)-mx2-x2, 由x2>x1>0知，上式等价于函数p(c)=fx)-mx2-x=e-mx2在(0，+∞)为增函数， pW=e-2mr≥0，即2m≤， 令加e三ae0, e'x-1 当0<x<1时，h'(x)<0时，h(x)单调递减； 当x>1时，h'(x)>0,h(x)单调递增，h(x)min=h(I)=e, 则2m≤e,即m≤，所以实数m的范国为(-， ●技法2等价转化法求参数范围 [例2]若不等式2xlnx≥一x2+ax一3在区间(0，e]上恒成立，求实数a的取值范围. 3 解：不等式2xlnx≥-x2+ax-3在区间(0，e]上恒成立等价于2lnx≥-x+a- x, 令80=2x+x-+,0,.则g021是-23_+3- 则在区间(0,1)上，g(x)<0,函数g(x)为减函数； 在区间(1，]上，g(x)>0，,函数g(x)为增函数. 由题意知gx)mim=g(1)=1-a+3≥0，得a≤4，所以实数a的取值范围是(-∞，4]. 【点拨】解决此类问题的关键是将已知条件的恒成立问题利用不等式的性质进行 等价变形转化，再构造函数利用最值思想求解，