第2章 创新拓展系列(三) 与二次函数有关的能成立和恒成立问题（PPT课件）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

2024版数学（湘教） 第二章函数 创新拓展系列（三）与二次函数 有关的能成立和恒成立问题 二次函数中的能成立和恒成立问题是常见的题型，解决此类问题关键是利用数形结 合及单调性，求出函数的最值，再根据条件求解.考查数学运算和逻辑推理素养. 【典例】 已知两函数fx)=8x2+16x一k,g6w)=2x2+4x十4，其中k为实数. (1)对任意x∈[一3,3]，都有fx)≤gx)成立，求k的取值范围； (2)存在x∈[-3,3]，使fx)≤gx)成立，求k的取值范围： (3)对任意x1,x2∈[-3,3]，都有fx)≤g2),求k的取值范围. [思维点拨](1)构造函数hx)=fx)-gx),根据h(x)max≤0求解； (2)构造函数h(c)=f(x)一g(x),根据h(x)min≤0求解； (3)根据题意，根据f(x)max≤g(x)min求解. 解：(1)设hx)=fx)-gx)=6x2+12x-4-k,问题转化为x∈[-3,3]时，hx)≤0恒 成立，故h(x)max≤0.由二次函数的性质可知h(x)max=h(3)=86-k,有86-k≤0，得k≥86. (2)由题意，存在x∈[-3,3]，使fx)≤g)成立，即hx)=fx)-gx)=6x2+12x-4 一k≤0在x∈[-3,3]上有解，故h(x)min≤0.由二次函数的性质可知h(x)min=h(-1)= 10-k,有-10-k≤0，得k≥-10. (3)对任意x1,x2∈[一3,3]，都有fx)≤gx2)成立，所以fx)max≤gc)mim,x∈[-3， 3].由二次函数的性质可得f(x)maxf(3)=120-k,gx)mim=g(-1)=2.故有120-k≤2，得 k≥118. 【思维升华】1由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数。 (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否 已分离.这两个思路的依据是：afx)恒成立afx)max,afx)恒成立.afx)min. 2.ax2+bx十c<0(a>0)在区间[m,m上恒成立的条件.设fx)=a+bx十c,则 f(m)<0, ax2+bx十c>0(a<0)在区间[m,n上恒成立的条件.设fx)=ar2+bx十c,则 f(n)<0. f(m)>0, f(n)>0. 新学 【创新集训】 1.设函数f6x)=mx2-mx一1，若对于x∈[1,3]，fx)水一m十4恒成立，则实数m的 取值范围为( A.(-∞，0] c.(-∞，0u0,9 解析：由题意， f(x)<-m+4 对于 x∈[1，3] 恒成立，即 $$m \left( x ^ { 2 } - x + 1 \right) < 5$$ 对于： x∈[1，\right. 3]恒成立. ·当 x∈[1，3] 时， $$x ^ { 2 } - x + 1 \in \left[ 1 ， 7 \right] ， \therefore$$ 不等式 f (x)<-m+4等价于 $$m < \overrightarrow { x ^ { 2 } - x + 1 } \cdot$$ 5 当x=3时， $$\overline { x ^ { 2 } - x + 1 }$$ 取最小值 $$i _ { 7 } ， \therefore$$ 若要不等式 $$m < \frac { 5 } { x ^ { 2 } - x + 1 }$$ 对于 x∈[1，3] 恒成立，则必 须满足 $$m < \frac { 5 } { 7 } ，$$ 因此，实数m的取值范围为 $$\left( - \infty ， \frac { 5 } { 7 } \right) ，$$ 故选D. 答案：D 2.已知函数fx)=x2+mx一1，若对于任意x∈[m,m十1，都有fx)<0成立，则实 数m的取值范围是 解析：作出二次函数fx)的草图如图所示，对于任意x∈[m,m+1],都有fx)<0, o.e -1s0. [m2+m2-1<0, 得-2<m<0, 答案：〔90 课下巩固检测卷（八） 请点击进入WO⊙文档 THANK YOU! 感谢观看！