第1章 创新拓展系列(一) 柯西不等式（PPT课件）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，湘教版2019）

2024版数学（湘教） 第一章集合、常用逻辑用语及不等式 创新拓展系列（一） 柯西不等式 新学 2.(柯西不等式的向量形式)设a,B为平面上的两个向量，则aB例≥a例，其中当且 仅当B是零向量，或存在实数k,使a=心时等号成立. 3.(柯西不等式的三角不等式)设x,y1,2,y2,x3,y3为任意实数，则： V(c1-x2)2+0y1y2)2+Vx2-x3)2+62y3)2≥Vx1-x3)2+61y)2. 新学 题型一利用柯西不等式求最值 例]0)已知0,0，千+y2-1,则子+的绿大是 解析：由打西不等式得后+y加+1≥5×1+少×)-5+， 所以1X2≥6+，当约，即=2，y时等号成. 所以巧+≤5，即子+的最大维是2 答案：2 (2)己知x,y满足x+3y=4,则4x2+y2的最小值为 解析：+≤+y4+9,所以42+v≥16×号， 当且仅当y=12x时，等号成立， 64 所以4x2+y2的最小值为371 答案：g (3)函数y=2V2-x+V2x-3的最大值为 解析：y=2V2-x+V2x-3=V2-x+V2-x+V2x-3≤V1+1+1 V(2-x)+(2-x)+(2x-3)=V3, 当且仅当V2-x=V2x-3,即x=3时等号成立，·函数y的最大值为V3. 答案：3 新学 题型二 利用柯西不等式证明不等式 [例2】已知ar:b:h为正实数，求证：(ah十ab)会+≥an十a四 证明：(ab+ab份+分ab+anV+0V7 ≥aia.Vg+anV=ata 当且仅当b1=b2时，等号成立. [例3]已知a,a,…,an都是实数，求证：a十a十…十a2≤++…+a2. 证明：根据柯西不等式，有(12+12+…十1)(a+a+…+a≥(1×a+1×a2+… +1×an)2, 所以a+a+…+a2≤+++a2 【思维升华】利用柯西不等式求最值和证明不等式，关键是将条件转化为柯西不 等式的结构形式. 新学 【创新集训】 1.函数y=2V1一x十V2x+1的最大值为 解析：由题意，函数y=2V1-x+V2x+1=V2XV2-2x+1V2x+1 ≤VN22+12.VV2-2x)+(V2x+1)2=V3×V3=3, 当且仅当V2-2x1=V2V2x+1取等号，即2-2x=4x+2,即x=0时取等号， 所以函数的最大值为3. 答案：3 2.已知3x2+2y2=6,则2x+y的最大值为 解析：令a=5,四=场，=后公-兰 代入柯西不等式(a1b1+a2b2)2≤(a+a)b+b的)， (2+2≤6r2+23婚+6×6-1， .-V11≤2x+y≤V11, …2x+y的最大值为V11. 答案：