第7章 第5节 空间向量的概念与运算（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

课时精练（三十七） 空间向量的概念与运算 （本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！） ［基础保分练］ 1. 已知 ， ， ，则 等于( B ) A. 18 B. C. D. [解析]［因为 ， 所以 ．故选 .］ 2. 已知空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，若 ，则“ ， ， ”是“ ， ， ， 四点共面”的( B ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析]［由 ，得 ， ， ， 四点共面， 当 ， ， ， 四点共面时， ，显然取值不止是2， ，2． 故“ ， ， ”是“ ， ， ， 四点共面”的充分不必要条件．故选 .］ 3. 如图，在平行六面体 中， 与 的交点为 ，点 在 上，且 ，则下列向量中与 相等的向量是( C ) A. B. C. D. [解析]［因为 ，所以 ，在平行六面体 中， .故选 ．］ 4. [2022·青岛质检]已知向量 ， ，且 与 互相垂直，则 的值是( A ) A. B. 2 C. D. 1 [解析]［因为 ， ，所以 ， ， ，又 与 互相垂直，所以 ，即 ，即 ，所以 .故选 ．］ 5. （多选）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( AB ) A. 两条不重合直线 ， 的方向向量分别是 ， ，则 B. 两个不同的平面 ， 的法向量分别是 ， ，则 C. 直线 的方向向量 ，平面 的法向量是 ，则 D. 直线 的方向向量 ，平面 的法向量是 ，则 [解析]［对于 ，两条不重合直线 ， 的方向向量分别是 ， ，则 ，所以 ，选项 正确；对于 ，两个不同的平面 ， 的法向量分别是 ， ，则 ，所以 ，选项 正确；对于 ，直线 的方向向量 ，平面 的法向量是 ，则 ，所以 或 ，选项 错误；对于 ，直线 的方向向量 ，平面 的法向量是 ，则 ，所以 ，选项 错误.故选 ．］ 6. （多选）已知空间中三点 ， ， ，则下列结论正确的有( CD ) A. 与 是共线向量 B. 与 共线的单位向量是 C. 与 夹角的余弦值是 D. 平面 的一个法向量是 [解析]［对于 ， ， ，不存在实数 ，使得 ， 所以 与 不是共线向量，所以 错误； 对于 ，因为 ，所以与 共线的单位向量为 或 ， 所以 错误； 对于 ，向量 ， ， 所以 ， 所以 正确； 对于 ，设平面 的法向量是 ， 因为 ， ， 所以 即 令 ，则 ，所以 正确．故选 .］ 7. [2022·北京朝阳陈经纶中学月考]若空间中三点 ， ， 共线，则 7． [解析]因为空间中三点 ， ， 共线，所以 ， 所以 ， ， 所以 ， 解得 ， ， 所以 ． 8. 已知点 ， ， ， ，则 在 上的投影向量为 ． [解析]由已知得 ， ， 所以 ， 又 ， 所以 在 上的投影向量为 ． 9. 三棱柱 中， ， 分别是 ， 上的点，且 ， .设 ， ， ． （1） 用 ， ， 表示向量 为 ； [解析]由题图知 ． （2） 若 ， ， ，则 的长为 ． [解析]由题设条件知， 因为 ，所以 ， ． 10. [2022·沈阳质检]已知 ， ， ， ，点 在直线 上运动，当 取最小值时，点 的坐标是 ． [解析]由题意知，设 ，因为 .则 ，即 ，则 ， ，所以 ，当 时取最小值，此时 点坐标为 ． 11. 如图所示，在直三棱柱 中， ， ，棱 ， ， 分别是 ， 的中点． （1） 求 的长； [解析]以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，如图． ， ， 所以 ， 所以 ． （2） 求 ， 的值； [解析]因为 ， ， ， ， 所以 ， ， 所以 ， ， ． 所以 ， ． （3） 求证： ． 证明：因为 ， ， 所以 ， ， 所以 ． 所以 ， 所以 ． 12. 如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为正方形， ， ， 分别是 ， 的中点． （1） 求证： ； 证明：如图，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， ． ， ． 因为 ， 所以 ，即 ． （2） 在平面 内求一点 ，使 平面 ． [解析]设 ， 则 ， ， ， 若使 平面 ，则需 ， 且 ， 由 ，得 ， 由 ，得 ． 所以 点坐标为 ， 即当 为 的中点时， 平面 ． ［能力提升练］ 13. （多选）定义向量的外积： 叫做向量 与 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：（1） ， ，且 ， 和 构成右手系（三个向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致）；（2） 的模 （ 表示向量 ， 的夹角）.如图所示