第7章 第4节 空间直线、平面的垂直（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

课时精练（三十六） 空间直线、平面的垂直 （本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！） ［基础保分练］ 1. 已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列可以推出 的是( D ) A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， [解析]［对于 ，有可能出现 ， 平行这种情况，故 错误；对于 ，会出现平面 ， 相交但不垂直的情况，故 错误；对于 ， ， ， ，故 错误；对于 ， ， ，又由 ，故 正确．故选 .］ 2. [2022·盐城模拟]如图，在斜三棱柱 中， ， ，则 在底面 上的射影 必在( A ) A. 直线 上 B. 直线 上 C. 直线 上 D. 内部 [解析]［连接 （图略），由 ， ， ，得 平面 .因为 平面 ，所以平面 平面 .所以 在平面 上的射影 必在两平面的交线 上．故选 .］ 3. [2020·新高考Ⅰ卷]日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为 ），地球上一点 的纬度是指 与地球赤道所在平面所成角，点 处的水平面是指过点 且与 垂直的平面.在点 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 处的纬度为北纬 ，则晷针与点 处的水平面所成角为( B ) A. B. C. D. [解析]［如图所示， 为赤道平面， 为 点处的日晷面所在的平面，由点 处的纬度为北纬 可知 ，又点 处的水平面与 垂直，晷针 与 所在的平面垂直，则晷针 与水平面所成角为 ．故选 4. [2023·开封月考]《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形，且 ，点 ， 分别为 ， 的中点，则图中的鳖臑有( C ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 [解析]［由题意，因为 底面 ，所以 ， ，又四边形 为正方形， 所以 ，因为 ， 所以 平面 ， ， 所以四面体 是一个鳖臑，因为 平面 ，所以 ， 因为 ，点 是 的中点，所以 ， 因为 ，所以 平面 ，可知四面体 的四个面都是直角三角形， 即四面体 是一个鳖臑， 同理可得，四面体 和 都是鳖臑，故选 ．］ 5. [2021·新高考Ⅱ卷]（多选）如图，下列各正方体中， 为下底面的中心， ， 为顶点， 为所在棱的中点，则满足 的是( BC ) A. B. C. D. [解析]［设正方体的棱长为2，对于 ，如图1所示，连接 ，则 ，故 （或其补角）为异面直线 ， 所成的角， 在直角三角形 中， ， ， 故 ， 故 不成立，故 错误.（或者易得 在上底面的射影为 ，故 不成立） 对于 ，如图2所示，取 的中点为 ，连接 ， ，则 ， ， 由正方体 可得 平面 ，而 平面 ， 故 ，而 ， ， 平面 ，故 平面 ， 又 平面 ，所以 ，而 ， ， 平面 ， 所以 平面 ，而 平面 ，故 ，故 正确． 对于 ，如图3，连接 ，则 ，由 的判断可得 ，故 ，故 正确． 对于 ，如图4，取 中点 ， 中点 ，连接 ， ， ， ，易得 ，且 ，连接 ， 必过点 ，在 中， ，在 中， ， 为异面直线 与 所成的角， ， 不为直角， 故 ， 不垂直，故 错误.故选 ．］ 6. [2022·武汉调研]（多选）如图， 为圆 的直径， ， 垂直于圆 所在的平面， 为圆周上不与点 ， 重合的点， 于点 ， 于点 ，则下列结论正确的是( ACD ) A. 平面 平面 B. 平面 平面 C. 平面 平面 D. 平面 平面 [解析]［因为 平面 ， 平面 ， 所以 ，又 为圆 直径，所以 ， 又 ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以 ， 又 ， ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以平面 平面 ， 所以 正确， ， 显然正确．故选 .］ 7. [2022·天津模拟]已知平面 ， 和直线 ，给出以下条件：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ，当条件（3）（5）成立时，有 ；当条件（2）（5）成立时，有 .（填所选条件的序号） [解析]根据面面平行的特征可得，若 ， ，则 ；根据线面垂直以及面面平行的特征可得，若 ， ，则 ． 8. 如图，三棱柱 的底面是边长为 的正三角形， ， ， 为 的中点， ，则二面角 的正切值为 ． [解析]取 的中点 ，连接 ， ． 因为 为 的中点， 是边长为 的正三角形， 所以 ， ， ， ， 所以 为二面角 的平面角． 在 中， ， ， ， 所以由余弦定理得 ， 所以 ，所以 ． 9. 如图所示，在四棱锥 中， 底面 ，且底面各边都相等， 是 上的一动点，当点 满足 （或 等）时，平面 平面 .（只要填写一个你认为正确的条件即可） [解析]由