第6章 第3节 等比数列（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

课时精练（三十二） 等比数列 （本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！） ［基础保分练］ 1. [2022·合肥市第六中学模拟]若等比数列 满足 ， ，则 等于( A ) A. B. C. D. [解析]［设等比数列 的公比为 ， 则 ，所以 ，又 ， 所以 ，所以 ．故选 .］ 2. [2022·重庆诊断]设等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 ( C ) A. B. C. D. [解析]［设等比数列 的公比为 ，则 ，又 ， ， 所以 ，故 ，又 ， 即 ．故选 .］ 3. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为( C ) A. 180里 B. 170里 C. 160里 D. 150里 [解析]［设该人第 天走 里路，则 是公比为 的等比数列， 由题意得 ，解得 .故选 ．］ 4. [2021·马鞍山市高考数学质量监测]已知正项等比数列 中， ， ， 表示数列 的前 项和，则 的取值范围是( A ) A. B. C. D. [解析]［设正项等比数列 的首项为 ，公比为 ，因为 ， ， 所以 解得 所以 ， 故 ， 所以 ． 由于数列 单调递增，当 时， ， 故 的取值范围是 .故选 ．］ 5. （多选）在公比为 的等比数列 中， 为其前 项和，若 ， ，则下列说法正确的是( ABC ) A. B. 数列 是等差数列 C. 数列 是等比数列 D. 数列 是等比数列 [解析]［因为等比数列 的公比为 ， ，则 ，而 ，解得 ， 正确； 前 项和 ，则 ，数列 是等差数列， 正确； 又 ，则 ，有 ，数列 是等比数列， 正确； 因为 ，则 ，显然 不是常数，所以数列 不是等比数列， 不正确．故选 ．］ 6. （多选）在等比数列 中，公比为 ，其前 项积为 ，并且满足 ， ， ，下列选项中，结论正确的是( ABD ) A. B. C. 的值是 中最大的 D. 使 成立的最大自然数 等于198 [解析]［对于 ，因为 ， 所以 ，所以 ． 因为 ，所以 ． 又因为 ， 所以 ，且 ． 所以 ，故 正确； 对于 ，因为 ， ，所以 ， 即 ，故 正确； 对于 ，由于 ，而 ， 故有 ，故 错误； 对于 ， ， ，故 正确.故选 ．］ 7. 已知 是公比为 的等比数列，其前 项和为 ，若 ,则 . [解析]当 时，由 ,得 ，显然不成立； 当 时，由 ,得 , . 8. [2022·衡阳八中模拟]设 为正项等比数列 （公比 ）前 项的积，若 ，则 ． [解析]由题意得， ， 所以 ， 根据等比数列的性质， 可得 ， 设等比数列的公比为 ， 所以 , , 所以 . 9. [2022·上海外国语附中月考]设数列 满足 ，若 ，则 ． [解析]因为 ， 则 ， 所以 ，所以数列 是公比为 的等比数列， 因为 ， 所以 ． 10. 如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形， ，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有 个正方形，且其最大的正方形的边长为 ，则其最小正方形的边长为 ． [解析]由题意，得正方形的边长构成以 为首项， 为公比的等比数列，现已知共含有 个正方形，则有 ，所以 ，所以最小正方形的边长为 ． 11. 已知公比不为1的等比数列 满足 ，且 ， ， 构成等差数列． （1） 求 的通项公式； [解析]设公比为 ,由题意得 ， 所以 ， 又因为 ，所以 或1（舍去）， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ． （2） 记 为 的前 项和，求使 成立的最大正整数 的值． [解析] ． 因为 ，所以 ， 所以 ， 显然， 为奇数，即 ． 解得 ，所以满足条件的最大正整数 的值为3． 12. 在 ； ； 这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上，并解答相应问题． 已知数列 满足 ，且 ． （1） 证明：数列 为等比数列； 证明：数列 中， ，且 ， 所以 ， 所以数列 是公比为3的等比数列． （2） 若 ，是否存在等比数列 的前 项和为 ？若存在，求 的通项公式；若不存在，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． [解析]选择条件①，不存在． 因为 ，所以 ， 因为 是公比为3的等比数列，所以 ， 解得 ，所以 ， ． 所以 ， ，所以 ， 因为 ，不符合上式， 所以数列 不是等比数列，所以不存在． 选择条件②，不存在．