第6章 第2节 等差数列（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

课时精练（三十一） 等差数列 （本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！） ［基础保分练］ 1. 已知公差不为0的等差数列 中， ， ，则 ( A ) A. B. 5 C. 10 D. 40 [解析]［设公差为 ，由已知得 由于 ，故 ，所以 ．故选 .］ 2. 在等差数列 中， ， 是方程 的两个实数根，则 ( A ) A. B. C. D. 2 [解析]［因为 ， 是方程 的两个实数根，所以 ， ， ，所以 .故选 ．］ 3. 两个等差数列 和 的前 项和分别为 ， ，且满足 ，则使得 为正整数的 的个数是( A ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 [解析]［因为 ，所以当 ，3，4，6，12，即 ，2，3，5，11时， 为正整数.故选 ．］ 4. [2022·临沂模拟]程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使子女孝顺的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( D ) A. 65 B. 176 C. 183 D. 184 [解析]［根据题意可知每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列 ，其中 ， ， ． 由等差数列前 项和公式可得 ，解得 ．由等差数列通项公式得 ． 则第八个孩子分得斤数为184．故选 .］ 5. [2022·珠海模拟]（多选）已知 为等差数列，其前 项和为 ，且 ，则以下结论正确的是( ACD ) A. B. 最小 C. D. [解析]［因为 ，所以 ，所以 ，即 ， 正确；当 时， 没有最小值， 错误； ，所以 ， 正确； ， 正确.故选 ．］ 6. [2022·商洛市高考模拟]（多选）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法正确的有( ABC ) A. 相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B. 春分和秋分两个节气的晷长相同 C. 立冬的晷长为一丈五寸 D. 立春的晷长比立秋的晷长短 [解析]［由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列 ，其中 寸， 寸，公差为 寸，则 ，解得 寸， 同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列 ，首项 ，末项 ，公差 （单位都为寸）．故 正确； 因为春分的晷长为 ，所以 ， 因为秋分的晷长为 ，所以 ，故 正确； 因为立冬的晷长为 ，所以 ，即立冬的晷长为一丈五寸，故 正确； 因为立春的晷长，立秋的晷长分别为 ， ， 所以 ， ， 所以 ，故 错误.故选 ．］ 7. [2022·武汉市高三测试]等差数列 中，已知 是其前 项和， ， ，则 ， 0． [解析]设等差数列 的公差为 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，因为 ，所以 ， ． 8. [2022·洛阳模拟]已知数列 与 均为等差数列 ，且 ，则 40． [解析]设 ， 所以 ， 由于 为等差数列， 所以其通项是一个关于 的一次函数， 所以 ，所以 ． 所以 ． 9. 将数列 与 的公共项从小到大排列得到数列 ，则 的前 项和为 ． [解析]因为数列 是以3为首项，以2为公差的等差数列，数列 是以3为首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以3为首项，以6为公差的等差数列，所以 的通项公式为 ，故 的前 项和为 ． 10. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为155． [解析]因为所给数列为高阶等差数列，设该数列的第8项为 ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列.如图： 由图可得 解得 11. [2021·全国甲卷]已知数列 的各项均为正数，记 为 的前 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①数列 是等差数列；②数列 是等差数列； . 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. [解析] . 已知 是等差数列， . 设数列 的公差为 ，则 ，得 ， 所以 . 因为数列 的各项均为正