第5章 第3节 平面向量的数量积及应用（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

课时精练（二十八） 平面向量的数量积及应用 （本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！） ［基础保分练］ 1. 已知单位向量 ， 的夹角为 ，则在下列向量中，与 垂直的是( D ) A. B. C. D. [解析]［由题意得 ， 设 ， 的夹角为 ，故 ． 对 项， ； 对 项， ； 对 项， ； 对 项， ．故选 .］ 2. 已知向量 , , , ，则 等于( A ) A. B. 4 C. D. [解析]［因为 ,所以 , 又 ,所以 ， , .故选 .］ 3. [2022·沈阳模拟]若两个非零向量 ， 满足 ，则 与 的夹角为( D ) A. B. C. D. [解析]［由 ，等号左右同时平方， 得 ，即 ， 所以 且 ，所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ．故选 .］ 4. 已知 ， ， ，若 ，则与 共线的单位向量为( A ) A. 或 B. 或 C. D. [解析]［由题意得 ， 因为 ，所以 ，即 ， ，解得 ， 所以 ， 所以 ．故选 .］ 5. [2022·黄冈质检]圆内接四边形 中， ， ， 是圆的直径，则 等于( B ) A. 12 B. C. 20 D. [解析]［如图所示，由题知 ， ， ， 所以 ．故选 .］ 6. [2022·金陵月考]在平面直角坐标系 中，已知向量 与 关于 轴对称，向量 ，则满足不等式 的点 构成的集合用阴影表示为( B ) A. B. C. D. [解析]［因为 ，向量 与 关于 轴对称， 所以 , .因为 ，所以 ，故满足要求的点 在以 为圆心，1为半径的圆上以及圆的内部.故选 .］ 7. [2022·滕州模拟]（多选）设 , , 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是( BD ) A. B. C. 不与 垂直 D. [解析]［由于 , 是不共线的向量，因此 与 相减的结果应为向量，故 错误；由于 ， 不共线，故 , , 构成三角形，因此 正确；由于 ，故 中两向量垂直，故 错误；根据向量数量积的运算可以得出 是正确的，故选 .］ 8. [2022·青岛质检]（多选）已知平面向量 , , ，下列说法正确的是( BC ) A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. [解析] .若 ,则 ,所以 ，故 错误； 若 ，则 ,所以 ,故 正确； 若 ,则 ，故 正确； ,则 ，故 错误.故选 .］ 9. 已知向量 , , .若 ,则 . [解析] , ,得 . 10. 在四边形 中， ， ， ，则该四边形的面积是10. [解析]由题意，向量 ， ，由 ，可得 ，解得 ，所以四边形的面积为 . 11. 已知向量 , ,其中 , ,且 ，则向量 和 的夹角是 ， 6. [解析]由题意，设向量 , 的夹角为 ,因为 , ,且 ,所以 ,解得 .又因为 ，所以 ，则 12. 已知平行四边形 中， ， ， ，平面内动点 满足 ，则 的取值范围为 . [解析]因为在平行四边形 中， ， ， , 所以建立如图所示的坐标系，则 ， ， ， ，设 ， 因为平面内动点 满足 ， 所以 ,即 , 所以 , 所以 . ［能力提升练］ 13. 在 中，已知 ，且 ，则 为( A ) A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 三边均不相等的三角形 [解析] ， 分别为与 ， 方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量 所在的直线为 的平分线． 因为 ，所以 的平分线垂直于 ，所以 ． 又 ， 所以 ，又 ,所以 .所以 为等边三角形．故选 .］ 14. 已知 , ，且 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是 . [解析]因为 ， ,且 与 的夹角为钝角， 所以 且 , 不共线，则 解得 且 ，即 . ［创新拓展练］ 15. （多选）定义一种向量运算“ ”： （ ， 是任意的两个向量）.对于同一平面内的向量 ， ， ， ，给出下列结论，正确的是( AD ) A. B. C. D. 若 是单位向量，则 [解析]［当 ， 共线时， ，当 ， 不共线时， ，故 正确； 当 ， 时， ， ，故 错误； 当 与 共线时，则存在 ， 与 不共线， ， ，显然 ，故 错误； 当 与 不共线时， ，当 与 共线时，设 ， ， ，故 正确．故选 .］ 16. [2022·本溪模拟]骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆 （前轮），圆 （后轮）的半径均为 ， , , 均是边长为4的等边三角形.设点 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中， 的最大值为( C ) A. 8