第2章 第3节 函数的奇偶性、周期性与对称性（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

课时精练（八） 函数的奇偶性、周期性与对称性 （本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！） ［基础保分练］ 1. 下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递增的函数是( B ) A. B. C. D. [解析] 是偶函数，且在 上单调递增，符合题意.故选 .］ 2. [2022·南昌模拟]函数 的图象( B ) A. 关于 轴对称 B. 关于 轴对称 C. 关于坐标原点对称 D. 关于直线 对称 [解析] ， ， 所以 ，故 为偶函数，其图象关于 轴对称．故选 .］ 3. 已知函数 的图象关于原点对称，且周期为4， ，则 等于( A ) A. 2 B. 0 C. D. [解析]［依题意，函数 的图象关于原点对称，则函数 是奇函数，又 的周期为4，且 ，则有 ，所以 ．故选 .］ 4. [2022·宁德模拟]已知 是定义在 上的奇函数，且对任意的 都有 ，当 时， ，则 等于( C ) A. 0 B. C. D. 2 [解析]［因为 是定义在 上的奇函数，且 时， ， 所以 ， ， 又对任意的 都有 ，所以 ， 所以函数图象关于直线 对称，所以 ，解得 ，所以 ．故选 .］ 5. （多选）已知 是定义在 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( BD ) A. B. C. D. [解析]［由奇函数的定义 验证， 项， ，为偶函数， 项， ,为奇函数； 项， ，为偶函数； 项， ，为奇函数.故选 .］ 6. [2022·湖北新高考9+N联盟模拟]（多选）已知 为 上的偶函数，且 是奇函数，则( AD ) A. 的图象关于点 对称 B. 的图象关于直线 对称 C. 的周期为4 D. 的周期为8 [解析]［因为 为偶函数，所以 的图象关于 轴对称， ， 又因为 是奇函数，所以 ，所以 ， 所以 ， 所以函数 的图象关于点 对称， 为周期函数且周期为8．故选 .］ 7. 若函数 ,在定义域上为奇函数，则实数 . [解析]因为 在定义域上为奇函数， 所以 ，即 , 即 , 根据等式恒成立可得， . 8. 已知函数 ,若 ，则 4. [解析]令 , 则 为奇函数，且 ， 因为 ,所以 , 所以 . 9. 若函数 则 . [解析]当 时， ，① 所以 ，② 得， ， 所以 , 所以 的周期为6， 所以 ． 10. 已知函数 是奇函数． （1） 求实数 的值； [解析]设 ，则 ， 所以 ． 又 为奇函数，所以 ， 于是 时， ，所以 ． （2） 若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围． [解析]要使 在 上单调递增，结合 的图象（如图所示）知 所以 ， 故实数 的取值范围是 ． 11. 设 是定义在 上的奇函数，且对任意实数 ，恒有 .当 时， ． （1） 求证： 是周期函数； 证明：因为 ，所以 ． 所以 是周期为4的周期函数． （2） 当 时，求 的解析式． [解析]因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ． 因为 ，所以 ， 即当 时， ． ［能力提升练］ 12. [2022·本溪统考]（多选）已知定义在 上的奇函数 对 都有 ，则下列判断正确的是( ACD ) A. 是周期函数且周期为4 B. 的图象关于点 对称 C. 的图象关于直线 对称 D. 在 上至少有5个零点 [解析]［对于 选项，因为 ，所以 ， 所以函数 的周期为4，故 项正确； 对于 选项，因为 ，且 ，所以 ， 所以 的图象关于直线 对称，故 项错误； 对于 选项，因为 ，所以 ， 又因为 ，所以 ， 所以 的图象关于直线 对称，故 项正确； 对于 选项，因为 为定义在 上的奇函数， 所以 ，因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ，所以 ，因为 ， 所以 ，故 项正确．故选 .］ 13. 函数 满足 ，且 为定义在 上的奇函数，则 0． [解析]因为 ，所以 的周期为2， 所以 ， 又 为定义在 上的奇函数， 所以 ，且 ，① 又 的周期为2， 所以 ，② 由①②得 ，所以 ． ［创新拓展练］ 14. 已知函数 对任意实数 满足 ，若函数 的图象与 有三个交点 ， ， ，则 3. [解析]因为 , 则 的图象关于点 对称， 又直线 也关于点 对称， 因为 与 有三个交点， 则 是一个交点，另两个交点关于 对称， 则 . 15. 函数 的定义域为 ，且满足对于任意 , ，有 . （1） 求 的值； [解析]因为对于任意 , ，有 , 所以令 ，得 , 所以 . （2） 判断 的奇偶性并证明你的结论； [解析] 为偶函数，证明如下： 的定义域关于原点对称， 令 , 有 , 所以 . 令 ， ,得 , 所以 ， 所以 为偶函数. （3） 如果 ， ，且 在 上单调递增，求 的取值范围. [解析]