第1章 第4节 基本不等式（word练习）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

课时精练（四） 基本不等式 （本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！） ［基础保分练］ 1. 下列函数中，最小值为2的是( C ) A. B. C. D. [解析]［当 时， ，故 错误； ，当且仅当 ，即 时取等号， 因为 ，故 错误; ，当且仅当 ，即 时取等号，故 正确；当 时， ,故 错误.故选 .］ 2. [2022·扬州市高三联考]设 ，则 的最大值为( C ) A. 3 B. C. D. [解析]［因为 ,所以 ,当 ，即 时，等号成立.故选 .］ 3. 已知直线 和 相切，则 的最大值是( A ) A. B. C. D. 1 [解析]［根据题意，圆 的圆心为 ，半径 ,若直线 和 相切，则有 ，变形可得 ，又由 ,变形可得 ，当且仅当 时等号成立，故 的最大值是 ，故选 .］ 4. 要制作一个容积为 ，高为 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( C ) A. 80元 B. 120元 C. 160元 D. 240元 [解析]［由题意知，体积 ,高 ,所以底面积 ,设底面矩形的一条边长是 ,则另一条边长是 ，又设总造价是 元，则 ,当且仅当 ,即 时取得等号.故选 .］ 5. [2022·重庆模拟]已知 , ， ，则 的最小值是( C ) A. 1 B. 4 C. 7 D. [解析]［因为 , , ， 所以 , 当且仅当 时等号成立.故选 .］ 6. 已知 , ,且 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是( A ) A. B. 或 C. D. 或 [解析]［因为 ， , ,所以 ，因为不等式 恒成立，所以 ，解得 .故选 .］ 7. [2022·河北九师联盟一模]（多选）已知 , ,且 ，则( BC ) A. 的最小值是1 B. 的最小值是 C. 的最小值是4 D. 的最小值是5 [解析]［由已知，得 ，则 ,当且仅当 时取等号，所以 的最大值是 , 错误； ，因为 ,所以当且仅当 , 时取等号，所以 的最小值是 ， 正确； ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值是4， 正确；因为 , ,所以 ,当且仅当 时取等号，所以 的最小值是 , 错误.故选 .］ 8. （多选）设 , ,则下列不等式中一定成立的是( ACD ) A. B. C. D. [解析]［因为 ， ，所以 ，当且仅当 且 , 即 时取等号，故 正确； 因为 ,所以 ,当且仅当 时取等号，故 错误; 因为 ，当且仅当 时取等号， 所以 ,当且仅当 时取等号， 所以 ,即 ,故 正确； 因为 ,当且仅当 时取等号，故 正确.故选 .］ 9. 若 ,那么 的最小值是 . [解析]因为 ,即 ,所以 ,由基本不等式可得 ,当且仅当 时，等号成立，故 的最小值是 . 10. 若 ,则 的最大值为2. [解析]因为 ,所以 ,当且仅当 ,即 时取“ ”. 11. [2022·百师联盟联考]已知 , ，且 ,则 的最小值为2， 的最小值为 . [解析]因为 ,所以 ,即 , 当且仅当 ，即 ， 时等号成立，故 的最小值为2. 因为 ,所以 , 因为 ， 当且仅当 ,即 时等号成立， 所以 的最小值为 . 12. 已知函数 ，若对于任意的 ， 恒成立，则 的取值范围是 . [解析]因为对任意 ， ，即 恒成立，即 .设 , ，则 ,当且仅当 时等号成立，又 , ， ,所以 .所以 ,所以 ，故 的取值范围是 . ［能力提升练］ 13. [2022·新高考Ⅱ卷]（多选）若 , 满足 ，则( BC ) A. B. C. D. [解析]［因为 ，且 ，所以 ,故 ，当且仅当 时等号成立，即 ，故 错误， 正确.由 得 ，即 ，当且仅当 时等号成立.故 正确， 错误，故选 .］ 14. 已知函数 ，若对任意的正数 , ，满足 ，则 的最小值为12. [解析]因为 恒成立，所以函数 的定义域为 ，因为 ,所以 为奇函数.因为 ,所以 ,所以 ,所以 .因为 , ,所以 ，当且仅当 ，即 , 时等号成立，所以 的最小值为12. ［创新拓展练］ 15. [2022·山东潍坊二模]已知正实数 , 满足 ，则 的最大值为( B ) A. B. C. D. 2 [解析]［因为 ,所以 ，又 , 是正实数，所以 ，所以 的最大值为 ，故选 .］ 16. [2022·湖北七市（州）3月联考]已知函数 ，若 的最大值为 ，则正实数 1. [解析]令 ，则 ，则 ，令 ，当 时， 在 上单调递增， . 则 ，即 的最大值为 ，则 ，解得 . 当 时， （当且仅当 时等号成立）, 则 ，即 的最