第9章 第2节 成对数据的统计分析（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第二节 成对数据的统计分析 【课程标准】1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系；结合实例，会通过相关系数比较多组成对样本数据的相关性. 2.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法. 3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测. 4.掌握分类变量的含义.通过实例，理解 列联表的统计意义；通过实例，了解 列联表独立性检验及其应用. 知识分步 落实 1.变量的相关关系 （1）相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． （2）散点图：每一个成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成了统计图.我们把这样的统计图叫做散点图． （3）相关关系的分类：正相关和负相关． （4）线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关． 2.样本相关系数 （1） ． （2）当 时，称成对样本数据正相关；当 时，称成对样本数据负相关． （3） ；当 越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当 越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 学生用书第241页 3.一元线性回归模型参数的最小二乘估计 （1）我们将 称为 关于 的经验回归方程， 其中 （2）残差分析 ①对于响应变量 ，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的 称为预测值，观测值减去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． ②残差的散点图 比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，则满足一元线性回归模型对随机误差的假设． ③ . 因此 越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好； 越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差． 4.分类变量与列联表 （1）分类变量 在讨论问题时，为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示． （2） 列联表 列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表． 假设有两个分类变量 和 ，它们的可能取值分别为 和 ，其 列联表为 合计 合计 5.独立性检验 （1）零假设 以 为样本空间的古典概型.设 和 为定义在 上，取值于 的成对分类变量． 分类变量 和 独立． 通常称 为零假设或原假设． （2） 公式 假设我们通过简单随机抽样得到了 和 的抽样数据列联表，如下表所示： 合计 合计 ． 对于任何小概率值 ，可以找到相应的正实数 ，使得下面关系成立： ． 我们称 为 的临界值，这个临界值就可作为判断 大小的标准.概率值 越小，临界值 越大． （3）独立性检验 基于小概率值 的检验规则是： 当 时，我们就推断 不成立，即认为 和 不独立，该推断犯错误的概率不超过 ； 当 时，我们没有充分证据推断 不成立，可以认为 和 独立． 这种利用 的取值推断分类变量 和 是否独立的方法称为 独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． 学生用书第242页 ［对点自测］ 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1） 散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段.( √ ) （2） 经验回归直线 至少经过点 ， ， ， 中的一个点.( × ) （3） 样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强.( √ ) （4） 若分类变量 ， 关系越密切，则由观测数据计算得到的 的观测值越小.( × ) 2. （选择性必修第三册P103习题 改编）下列四个散点图中，变量 与 之间具有负的线性相关关系的是( D ) A. B. C. D. [解析]［观察题图可知，只有 选项的散点图表示的是变量 与 之间具有负的线性相关关系，故选 .］ 3. 一位母亲记录了自己儿子 岁的身高数据（略），由此建立的身高与年龄的一元线性回归模型为 ，用这个模型预报这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( C ) A. 身高一定是 B. 身高在 以上 C. 身高在 左右 D. 身高在 以下 [解析]［由一元线性回归模型可得 ，所以预报这个孩子10岁时的身高在 左右．故选 .］ 4. [2020·全国Ⅰ卷]某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 和温度 （单位： ）的关