第7章 培优增分系列（11） 微点突破——空间动态问题突破（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

培优增分系列（十一） 微点突破——空间动态问题突破 立体几何中的“动态”问题就变化起因而言大致可分为两类：一是平移；二是旋转.就所求变量而言可分为三类：一是相关线、面、体的测度；二是角度；三是距离.立体几何动态问题的解决需要较高的空间想象能力与化归处理能力，在各省市的高考选择题与填空题中也时有出现.在解“动态”立体几何题时，如果我们能努力探寻运动过程中“静”的一面，动中求静，往往能以静制动、克难致胜． 一、距离问题 例1 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 与 均为等腰直角三角形，且 ， ，点 是线段 上的动点，若线段 上存在点 ，使得异面直线 与 成 的角，则线段 长的取值范围是( B ) A. B. C. D. [解析]［设 的中点为 ，连接 ，因为 , ，所以 ，故建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， , ， ， , ，则 , , ,所以 , , ,所以 ,即 ，也即 ，由此可得 ，结合 可得 ，即 ,所以 ，则 ，即 .故选 .］ 规律方法 求两点间的距离或其最值.一种方法，可建立坐标系，设点的坐标，用两点间距离公式写出距离，转化为求函数的最值问题；另一种方法，几何法，根据几何图形的特点，寻找两点间的距离的临界情况，求其值. 针对练1 如图，在棱长为4的正方体 中，点 , 分别在棱 和 上，且 ，则 的最大值为( B ) A. B. 1 C. D. 2 [解析]［设 , , 所在直线为 , , 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则 ，设 , , ， ，则 , ， ，因为 ,所以 ，即 ， .当 时， 取得最大值为1，所以 的最大值为1.故选 .］ 二、角度问题 例2 如图，四边形 和 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 在线段 上， ， 分别为 ， 的中点.设异面直线 与 所成的角为 ，则 的最大值为 . [解析]建立如图所示坐标系.设 ，则 ， ,则 , .设 ，则 ,由于异面直线所成角的范围为 ， 所以 ,又因为 ，令 , ，则 , 当 时取等号， 所以 ，当 时，取得最大值. 规律方法 空间的角的问题，一种方法，代数法，只要便于建立空间直角坐标系均可建立空间直角坐标系，然后利用公式求解；另一种方法，几何法，几何问题要结合图形分析何时取得最大（小）值. 针对练2 如图，在正方体 中，点 为线段 的中点.设点 在线段 上，直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是( B ) A. B. C. D. [解析]［设正方体的棱长为1，则 ， , , ，所以 , ， , .又直线与平面所成的角小于等于 ,而 为钝角，所以 的范围为 .故选 .］ 学生用书第186页 三、轨迹问题 例3（1） [2021·湖北八校二联]如图， 是与平面 交于点 的斜线段，点 满足 ，且在平面 内运动，给出以下几个命题：①当 时，点 的轨迹是拋物线；②当 时，点 的轨迹是一条直线；③当 时，点 的轨迹是圆；④当 时，点 的轨迹是椭圆；⑤当 时，点 的轨迹是双曲线.其中正确的命题是②③（将所有正确命题的序号都填上）． [解析]在 中， ，当 时， ，过 的中点作线段 的垂面 （图略），则点 在 与 的交线上，所以点 的轨迹是一条直线． 当 时， ，设 在平面 内的射影为 ，连接 ， ， （图略）． 设 ，则 ． 设 ，在平面 内，以 所在直线为 轴， 的垂直平分线为 轴， 的方向为 轴正方向，建立平面直角坐标系，设 ，则 ， ， ， ， ， 所以 ， 化简可得 ， 所以当 时，点 的轨迹是圆.故②③正确． （2） [2021·华中师大一附中月考]在四棱锥 中，四边形 是边长为2的菱形， ， ， ，平面 平面 ，点 是 内（含边界）的一个动点，且满足 ，则点 所形成的轨迹长度是 ． [解析]如图，连接 ，交 于点 ，因为四边形 为菱形，所以 ． 在 上取一点 ，连接 ， ，使得 ，又 ， ，所以 平面 ，则点 的轨迹是线段 ． 以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，过点 且垂直于平面 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 ， ， 则 ． 因为 ，所以 ，解得 ， 所以 ， ， 所以 ，即点 所形成的轨迹长度为 ． 规律方法 以立体几何为载体的轨迹问题，将立体几何和解析几何巧妙地结合在一起，综合性强.解答这类问题的关键是将空间问题转化为平面问题，一般可以从两方面考虑：一是利用曲线的定义；二是利用解析法求出轨迹方程． 针对练3（1） 若正四面体 的面 内一动点 到平面 ，平面 ，平面 的距离成等差数列，则点 在 内的轨迹是( A ) A. 一条线段 B. 一个点 C. 一段圆弧 D. 抛物线的一段 [解析]设点 到平面 ，平面 ，