第7章 培优增分系列（10） 微点突破——球的切、接问题（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

培优增分系列（十） 微点突破——球的切、接问题 球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，基本属于必考题目，特别是与其它几何体构成的内切球与外接球类组合体问题，是近几年全国卷命题的热点，应特别加以关注，题目一般属于中档难度，往往以填空或选择的形式单独成题，或者在解答题中以小问的形式呈现. 1.与球有关的切、接问题中常见的组合模型 （1）正方体与球 ①正方体的内切球：截面图为正方形 的内切圆，如图所示，设正方体的棱长为 ，则 （ 为内切球半径）. ②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形 的外接圆，则 . ③正方体的外接球：截面图为正方形 的外接圆，则 . （2）三条侧棱互相垂直（墙角模型）的三棱锥的外接球 ①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心，即三棱锥 的外接球的球心和正方体 的外接球的球心重合，如图，设 ,则 . ②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心. （ 为长方体的体对角线长）. （3）正四面体与球 如图，设正四面体的棱长为 ，内切球的半径为 ，外接球的半径为 ，取 的中点为 ，连接 ， 为正四面体的高，在截面三角形 内作一个与边 和 相切，圆心在高 上的圆.因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为 .此时， ， , , ,则有 , ，解得 , . 注：正四面体的内切球、棱切球、外接球三个球心合一，半径之比为： . 2.与球相关的“切”“接”问题的处理策略 （1）“切”的处理 解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决，如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作. （2）“接”的处理 把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题.解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径. 一、定义法 例1（1） 已知 ， 平面 ，若 ，则四面体 的外接球（顶点都在球面上）的体积为( D ) A. B. C. D. [解析]如图，取 的中点 ，连接 ， ，由题意得 ， 又因为 ， ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 所以 ， 在 中， ， 同理 ， 所以 ， 因此 ， ， ， 四点是在以 为球心的球面上， 在 中， ． 在 中， ， 球 的半径 ， 所以球的体积为 ．故选 . 学生用书第157页 （2） 在矩形 中， ， 为 的中点，将 和 分别沿 ， 翻折，使点 与点 重合于点 ，若 ，则三棱锥 的外接球的表面积为( C ) A. B. C. D. [解析]如图，由题意可知， ， ． 且 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． 设 的外接圆的半径为 ， 则由正弦定理可得 ， 即 ，所以 ． 设三棱锥 的外接球的半径为 ， 则 ， 即 ，所以 ， 所以外接球的表面积为 ．故选 . 规律方法 到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可． 针对练1 已知直三棱柱 的6个顶点都在球 的球面上，若 ， ， ， ，则球 的半径为 ． [解析]如图所示，由球心作平面 的垂线， 则垂足为 的中点 ． 又 ， ， 所以球 的半径 ． 针对练2 已知正三棱锥 的侧棱长为 ，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是 ． [解析]如图，过点 作 平面 于点 ，记球心为 ． 因为在正三棱锥 中，底面边长为6，侧棱长为 ， 所以 ， 所以 ． 因为球心 到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径 ， 所以 ， ． 在 中， ， 即 ，解得 ， 所以外接球的表面积为 ． 二、补形法 例2（1） 在四面体 中，若 ， ， ，则四面体 的外接球的表面积为( C ) A. B. C. D. [解析]由题意可采用补形法，考虑到四面体 的对棱相等，所以将四面体放入一个长、宽、高分别为 ， ， 的长方体，并且 ， ， ，则有 （ 为外接球的半径），得 ，所以外接球的表面积为 ．故选 . （2） [2022·重庆实验外国语学校月考]如图，在多面体中，四边形 为矩形， 平面 ， ， ，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为 ，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为 ． [解析]如图添加的三棱锥为直三棱锥 ，可以将该多面体补成一个直三棱柱 ， 因为 平面 ， ， ， 所以 ， 直三棱柱 的体积为 ， 添加的三棱锥 的体积为 ； 如图，分别取 ， 的中点 ， ，连接 ，与 交于点 ， 因为四边形 为矩形，所以 为 ， 的中点，在直三