第7章 第5节 空间向量的概念与运算（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第五节 空间向量的概念与运算 【课程标准】1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．4.理解直线的方向向量及平面的法向量．5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理． 知识分步 落实 1.空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量（平行向量） 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量定理 对任意两个空间向量 , , 存在 ,使 共面向量定理 如果两个向量 , 不共线，那么向量 与向量 , 共面 存在唯一的有序实数对 ，使 空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量 , , 不共面，那么对任意一个空间向量 ,存在唯一的有序实数组 ，使得 推论：设 ， , , 是不共面的四点，则对平面 内任一点 都存在唯一的三个有序实数 , , ，使 且 ［微提醒］　空间向量基本定理的三点注意 （1）空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底；（2）由于 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故 不能作为基向量；（3）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． 2.空间向量的数量积及运算律 （1）数量积及相关概念 ①两向量的夹角：已知两个非零向量 ， ，在空间任取一点 ，作 ， ，则 叫做向量 与 的夹角，记作 ，其范围是 ，若 ，则称 与 互相垂直，记作 ． ②非零向量 ， 的数量积 ． （2）空间向量数量积的运算律 ①结合律： ， ； ②交换律： ； ③分配律： . （3）空间向量的坐标表示及其应用 设 ， 向量表示 坐标表示 数量积 共线 , , 垂直 模 夹角余弦值 ［微提醒］（1）若 ， ， 为实数，则 ，但对于向量就不正确，即 .（2）向量数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即 不一定等于 .这是由于 表示一个与 共线的向量，而 表示一个与 共线的向量，而 与 不一定共线． 学生用书第171页 3.空间位置关系的向量表示 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量 的有向线段所在直线与直线 平行或重合，则称此向量 为直线 的方向向量. （2）平面的法向量:直线 ,取直线 的方向向量 ，则向量 叫做平面 的法向量. （3） 位置关系 向量表示 直线 , 的方向向量分别为 , 直线 的方向向量为 ,平面 的法向量为 平面 , 的法向量分别为 , ［对点自测］ 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1） 直线的方向向量是唯一确定的.( × ) （2） 若直线 的方向向量和平面 的法向量平行，则 .( × ) （3） 在空间直角坐标系中，在 平面上的点的坐标一定是 .( √ ) （4） 若 ，则 是钝角.( × ) 2. （选择性必修第一册P15习题 改编）若 是空间的一个基底，且向量 ， ，则可以与 ， 构成空间的另一个基底的向量是( C ) A. B. C. D. [解析]［由题意知， ， ， 不共面， 对于选项 ， ， 故 ， ， 共面，排除 ； 对于选项 ， ， 故 ， ， 共面，排除 ； 对于选项 ，由选项 得， ，故 ， ， 共面，排除 .故选 ．］ 3. [2022·全国乙卷]在正方体 中， ， 分别为 , 的中点，则( A ) A. 平面 平面 B. 平面 平面 C. 平面 平面 D. 平面 平面 [解析]［在正方体 中， 且 平面 , 又 平面 ,所以 ， 因为 ， 分别为 , 的中点， 所以 ，所以 ， 又 ,所以 平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 ，故 正确； 如图，以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设 ， 则 ， ， ， ， , , ， ， 则 , , , , , , , 设平面 的法向量为 , 则有 可取 ， 同理可得平面 的法向量为 ， 平面 的法向量为 ， 平面 的法向量为 ， 则 ， 所以平面 与平面 不垂直，故 错误; 因为 与 不平行，所以平面 与平面 不平行，故 错误；因为 与 不平行，所以平面 与平面 不平行，故 错误.故选 .］ 4. （易错题）已知 ， ， 三点不共线，点 为平面 外任意一点，若点 满足 ，则点 属于（填“属于”或“不属于”）平面 ． [解析]因为 ，因为 ， 所以 ，