第7章 第4节 空间直线、平面的垂直（word教参）-【金版新学案】2024高考数学大一轮复习讲义·高三总复习（新教材，人教A版2019）

第四节 空间直线、平面的垂直 【课程标准】1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系，归纳出有关垂直的性质定理和判定定理，并加以证明.2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题. 知识分步 落实 1.直线与直线垂直 （1）定义：若两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且夹角为直角，则称这两条直线互相垂直． （2）若一条直线垂直于一个平面，则它就和平面内的任意一条直线垂直． 2.直线与平面垂直 （1）定义：如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，则直线 与平面 互相垂直，记作 .直线 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 的垂面． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 3.直线和平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是 ；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是 ． （2）范围： ． 4.二面角 （1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． （2）二面角的平面角 若有 ； ， ； ， ，则二面角 的平面角是 ． （3）二面角的平面角 的范围： ． 5.平面与平面垂直 （1）平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （2）判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ［微提醒］　三种垂直关系的转化 线线垂直 线面垂直 面面垂直 6.空间距离 （1）点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． 学生用书第167页 （2）直线到平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． （3）两个平面间的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． ［对点自测］ 1. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） （1） 直线 与平面 内的无数条直线都垂直，则 .( × ) （2） 垂直于同一个平面的两平面平行.( × ) （3） 若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( × ) （4） 若直线 平面 ，直线 平面 ，则直线 直线 .( √ ) 2. （必修第二册P158例8改编）已知 是圆柱上底面的一条直径， 是上底面圆周上异于 ， 的一点， 为下底面圆周上一点，且 圆柱的底面，则必有( B ) A. 平面 平面 B. 平面 平面 C. 平面 平面 D. 平面 平面 [解析]［如图，因为 是圆柱上底面的一条直径，所以 ，又 垂直圆柱的底面，所以 ，因为 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 .故选 ．］ 3. （易错题）（多选）如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是( AC ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ [解析]［根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③中给定的平面内的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直．故选 .］ 4. [2021·浙江卷]如图，已知正方体 ， ， 分别是 ， 的中点，则( A ) A. 直线 与直线 垂直，直线 平面 B. 直线 与直线 平行，直线 平面 C. 直线 与直线 相交，直线 平面 D. 直线 与直线 异面，直线 平面 [解析]［连接 （图略），则易得点 在 上，且 为 的中点， 因为 平面 ， 平面 ，所以 ，又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，显然 与 异面，所以 与 异面且垂直．在 中，由中位线定理可得 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．易知直线 与平面 成 角，所以 与平面 不垂直．所以选项 正确．］ 巧记结论——即时应用 1.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条． 2.若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． 3.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 4.垂直于同一条直线的两个平面平行． 5.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． 6.两个相交平